Codeforces Round 962(div 3) E Decode(解码)

题目链接 ：https://codeforces.com/contest/1996/problem/E

题目描述：

为了获得你最喜欢的角色，你不惜一切代价，侵入了游戏的源代码。经过几天的努力，你终于找到了编码游戏 gacha 系统的二进制字符串。为了解码它，你必须首先解决以下问题。给你一个长度为n的二进制字符串s。对于每对整数(l,r) (1≤l≤r≤n)，计算子字符串Sx，Sx+1,Sx+2，...，Sy中 0的数量等于1的数量的对数(x,y)(l≤x≤y≤r)，输出所用可能的(l,r)模数10^9 + 7

输入

第一行包含 t ( 1≤t≤1000) — 测试用例的数量。每个测试用例包含一个二进制字符串 s( 1≤|s|≤2⋅105)。保证 s仅包含字符 0和 1。保证所有测试用例的 |s|之和不超过 2⋅10^5第一行包含 t ( 1≤t≤1000) — 测试用例的数量。每个测试用例包含一个二进制字符串 s( 1≤|s|≤2⋅10^5)。保证 s仅包含字符 0和 1。保证所有测试用例的 |s|之和不超过 2⋅10^5

输出

对于每个测试用例，输出一个整数，答案模 109+7 。

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题目分析：

首先，题意让我们找满足0的数量等于1的数量的每一个子集，很容易想到暴力的做法是，直接枚举所有子集，判断子集是否满足要求。但是，这样做就需要四层循环，分别是先确定l和r，然后再在l和r区间找子集，也就是枚举x，y这就是这四层循环。直接用暴力肯定是过不了的，所有我们要另寻他发。这题有”三典“：
1.放眼整个字符串，把字符0看成-1，字符1看成1，方便算满足条件的区间

2.经过1操作处理后的数组的前缀和（存放在数组arr中）

3.改变思考的角度，不从l，r这个大区间找x，y这个小区间，直接找x，y，然后求x，y能在多少个l，r里面出现，也就是求x，y区间对答案的贡献

经过这三个操作，我们很容易得出，假如arr[y] == arr[x - 1]就代表x，y区间满足条件，然后算贡献，既然这个贡献是看x，y在多少个l，r区间里面出现，这个区间首先是得包含x，y吧，那么，x左边有几个数能选加一乘以y右边有几个数能选加一就是所有包含x，y的l，r区间，为啥要加一呢？因为左边的选择有选一个选两个，也有不选这个选项，所以要加一，用数学式子来讲，就是区间数为x * (s.size() - y + 1)（x从1开始）。从这里看问题已经简化一半了，只用求前缀和，然后枚举x，y算贡献就行，但是还是有两层循环去计算答案，这个还能简化。假设我们正在枚举x，y区间，从右往左算，y循环是外层，x是里层，假设字符串是01010101，那么前缀和就是-1，0，-1，0，-1，0，-1，0，假设y是倒数第二个数，也就是y == 7，arr[y] == -1。这个时候让x往左动，第一个满足的x，y区间是x == 6，arr[x - 1] == arr[y]，贡献是7 * 6。然后第二个x是 x == 4，贡献7 * 4，第三个是x == 2，合并多项式7 * (6 + 4 + 2),也就是y等于7时所有满足条件的x的坐标之和。从右向左也是同理。然后，我们能用可以用x从左向右遍历前缀和数组，找这个区间之前符合要求的x坐标的和，我们可以用map<int,long long> m来存，在到某一前缀和值arr[y]的时候能访问y之前所有满足条件的x的和。然后更新答案ans += m[arr[y]] * (n - y + 1)，更新后也要更新相应的满足条件的x坐标的和。这样只需要一层循环去计算贡献。

只有前缀和跟求贡献的TLE代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#define ll long long
using namespace std;
 
const int N = 200010;
int arr[N];
constexpr int P = 1e9 + 7;
 
void solve()
{
    string s;
    cin >> s;
 
    int len = s.size();
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        if (s[i] == '0')
        {
            arr[i + 1] = -1;
        }
        else if (s[i] == '1')
        {
            arr[i + 1] = 1;
        }
        arr[i + 1] += arr[i];
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = 1; i <= len; i++)//两层循环求答案，最后超时了
    {
        int j = i + 1;
        while (j <= len)
        {
            if (arr[j] == arr[i - 1])
            {
                ans += (i * (len - j + 1)) % P;
            }
            j++;
        }
    }
    cout << ans % P << endl;
}
 
int main()
{
 
    int tNum;
    cin >> tNum;
    for (int i = 0; i < tNum; i++)
    {
        solve();
    }
 
    return 0;
}

正确code：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <map>
#define ll long long
using namespace std;

const int N = 200010;
const long long P = 1e9 + 7;
int arr[N];

void solve()
{
    string s;
    cin >> s;

    int len = s.size();
    for (int i = 0; i < len; i++) //作前缀和，如果坐标对应的字符是'0'那么代表-1，如果是'1'那么代表+1
    {
        arr[i + 1] = arr[i];
        if (s[i] == '0')
        {
            arr[i + 1] += -1;
        }
        else if (s[i] == '1')
        {
            arr[i + 1] += 1;
        }
    }
    ll ans = 0;
    map<int, long long> m;
    m[0]++;      //这个m[0] ++是因为当出现第一个前缀和为0时m[0] = 0那样就会变成0 * (n - y + 1)，正确的应该是
                 //1 * (n - y + 1)，所以要加成一
    for (int i = 1; i <= len; i++)
    {
        ans += (len - i + 1) * m[arr[i]] % P; //y乘满足条件x坐标之和，因为题目数据范围大于10^9 + 7所以ans加上的值
		                              //可能大于10^9 + 7所以要提前模上
        m[arr[i]] += i + 1;    //更新满足条件x坐标之和
    }
    ans %= P;//后面也可能会大于10^9 + 7
    cout << ans << endl;
}

int main()
{

    int tNum;
    cin >> tNum;
    for (int i = 0; i < tNum; i++)
    {
        solve();
    }

    return 0;
}