BZOJ 1045: [HAOI2008] 糖果传递

1045: [HAOI2008] 糖果传递

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Description

有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

Input

第一行一个正整数nn<=1'000'000，表示小朋友的个数．

接下来n行，每行一个整数ai，表示第i个小朋友得到的糖果的颗数．

Output

求使所有人获得均等糖果的最小代价。

Sample Input

4
1
2
5
4

Sample Output

4

题解

最终每个小朋友的糖果数等于平均数，假设编号为i的小朋友开始有Ai个糖果。Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi个糖果，Xi<0表示第i-1个小朋友给了第i个小朋友|Xi|个糖果。则最终的答案ans=|X1|+|X2|+……+|Xn|。

对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1个糖果，得到第2个小朋友的X2个糖果，最终还剩A1-X1+X2个糖果，即ave个糖果，所以得到方程A1-X1+X2=ave。

同理可得A2-X2+X3=ave......

所以得到：

X2=ave-A1+X1=X1-C1 (C1=A1-ave)

X3=ave-A2+X2=ave-A2+(ave-A1+X1)=X1-C2 (C2=A1+A2-2*ave)

X4=X1-C3 (C3=A1+A2+A3-3*ave)

……

所以ans=|X1|+|X1-C1|+|X1-C2|+......+|X1-Cn-1|，要使ans尽可能小。因为|X1-Ci|的几何意义是数轴上点X1到Ci的距离，所以问题转化为：给定数轴上n个点，找出一个点到各点距离和最小。所以这个点就是中位数。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=1000005;
int n,ave;
int a[N],f[N];
LL sum,ans;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		sum+=a[i];
	}
	ave=sum/n;
	for(int i=2;i<=n;i++)f[i]=f[i-1]+a[i-1]-ave;
	sort(f+1,f+n+1);
	int mid=n/2+1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=abs(f[i]-f[mid]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}