前言：
势流理论复习笔记，没想到自己又重新学了一遍势流理论。。。
所以记个笔记
笔记内容基本摘抄自朱仁传老师的《船舶在波浪上的运动理论》，写得好哇！！！
基础理论
均匀、不可压缩理想流体的流场中，连续性方程与欧拉方程可以描述为：
\[\begin{align}
\begin{cases}
\nabla \boldsymbol v=0 \\
\left( \frac{\partial}{\partial t}+\boldsymbol v\cdot \nabla \right)\boldsymbol v=-\nabla\left(\frac{p}{\rho}+gz \right)
\end{cases}
\end{align}
\]
\({\boldsymbol v} (x,y,z)\text与 p(x,y,z)\)分别为速度矢量与压力场，存在向量关系
\[\begin{align}
\nabla\left ( \frac{\boldsymbol v^2}{2}\right)=\nabla\left ( \frac{\boldsymbol v\cdot \boldsymbol v}{2}\right)=(\boldsymbol v\cdot \nabla)\boldsymbol v+\boldsymbol v\times(\nabla \times \boldsymbol v)
\end{align}
\]
欧拉方程可以改写为以下形式，称为兰姆方程\((Lamb's Equation)\)
\[\begin{align}
\frac{\partial \boldsymbol v}{\partial t}+\nabla\left ( \frac{\boldsymbol v^2}{2}\right)-\boldsymbol v\times(\nabla \times \boldsymbol v)=-\nabla\left(\frac{p}{\rho}+gz \right)
\end{align}
\]
以上共四个方程，四个未知数，方程封闭。如果流体流动无旋有势，方程可以进一步简化
\[\begin{align}
\boldsymbol v=\nabla \phi(x,y,z,t)
\end{align}
\]
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\nabla^2 \phi(x,y,z,t)=\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}=0\\
\frac{\boldsymbol p}{\rho}+gz+\frac{\boldsymbol v^2}{2}+\frac{\partial \phi}{\partial t}=C(t)
\end{aligned}
\end{equation}
\]
格林函数法
船舶在波浪中的运动问题关键在于求解流畅中的速度势，即求在确定边界条件下的拉普拉斯方程。格林函数法\((Green's \ \ function\ \ method)\)是一类成熟常用的求解方法。格林函数法的基础势格林公式（散度定理）推导得到，对三维空间中有界区域\(\tau\)，有以下关系式
\[\begin{align}
\iiint _\tau \nabla\cdot \boldsymbol A \text d \tau=\iint_S \boldsymbol n\cdot \boldsymbol A \text d S
\end{align}
\]
其中，\(S\)为空间域\(\tau\)充分光滑的边界面；\(\boldsymbol n\)为曲面\(S\)的单位外法向矢量（从流体域内指向外部），矢量\(\boldsymbol A\)在封闭区域\(\tau + S\)上连续。
现令\(\boldsymbol A=\phi \nabla \psi\)，于是有
\[\begin{align}
\nabla \boldsymbol A=\nabla(\phi\nabla\psi)=\nabla\phi \cdot \nabla\psi+\phi\nabla^2\psi
\end{align}
\]
\[\begin{align}
\boldsymbol n\cdot \boldsymbol A=\boldsymbol n\cdot (\phi\nabla \psi)=\phi\frac{\partial \psi}{\partial n}
\end{align}
\]
将\(\boldsymbol A=\phi \nabla \psi\)代入格林公式得到
\[\begin{align}
\iint _S \phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\text d S=
\iiint_\tau \nabla\phi\cdot \nabla \psi\text d \tau+
\iiint_\tau \phi\cdot \nabla^2 \psi\text d \tau
\end{align}
\]
将\(\boldsymbol A=\psi \nabla \phi\)代入格林公式得到
\[\begin{align}
\iint _S \psi \frac{\partial \phi}{\partial n}\text d S=
\iiint_\tau \nabla\phi\cdot \nabla \psi\text d \tau+
\iiint_\tau \psi\cdot \nabla^2 \phi\text d \tau
\end{align}
\]
两式作差得到
\[\begin{align}
\iint _S \left ( \psi \frac{\partial \phi}{\partial n}- \phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\right )\text d S=
\iiint_\tau \left ( \phi\cdot \nabla^2 \psi-\psi\cdot \nabla^2 \phi\right ) \text d \tau
\end{align}
\]
若\(\phi,\psi\)在\(\tau\)内处处调和，即: \(\nabla^2 \phi=0,\nabla^2\psi=0\)，则有
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\iint _S \left ( \psi \frac{\partial \phi}{\partial n}- \phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\right )\text d S=0\\
\iint _S \psi \frac{\partial \phi}{\partial n}\text d S =
\iint _S \phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\text d S
\end{aligned}
\end{equation}
\]
称作格林第二公式。
引入
现在设\(\phi(x,y,z)\)作为待求速度势，为调和函数；如果能恰当选取调和函数\(\psi\)，使得公式11右边端变为
\[\begin{align}
\iiint_\tau \phi(Q)\cdot \nabla^2 \psi(P,Q) \text d \tau=\phi(P)
\end{align}
\]
\(P(x,y,z)\)为流场内任意一点，\(Q(x,y,z)\)为流场内变点，那么势函数\(\phi\)在域内任意一点的值可以有边界上的函数值与法向导数值确定。
满足这种性质的\(\psi\)函数必然满足，\(\delta\)为狄拉克雷函数
\[\begin{align}
\nabla^2{\psi(P,Q)}=\delta(P-Q)
\end{align}
\]
对于三维问题，该方程的一个特解是
\[\begin{align}
{\psi(P,Q)}=-\frac{1}{4\pi r(P,Q)}
\end{align}
\]
式中，\(r(P,Q)\)为P与Q点之间的距离，\(r=\sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}\)，\(\psi(P,Q)\)除了在\(P=Q\)点除外，处处满足\(\nabla^2 \psi =0\).
流域内部问题
场点\(P(x,y,z)\)在封闭区域\(\tau+S\)内，由于存在奇异性，围绕场点作一半径为\(r_\varepsilon\)的小球，小球表面积为\(S_\varepsilon\)，于是在\(S+S_\varepsilon\)所围成的区域内，\(\psi\)函数处处调和。
由格林第二公式得到：
\[\begin{align}
\iint _{S+S_\varepsilon} \psi \frac{\partial \phi}{\partial n}\text d S =
\iint _{S+S_\varepsilon} \phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\text d S
\end{align}
\]
在\(S_{\varepsilon}\)上，\(\frac{\partial \psi}{\partial n}=-\frac{1}{4\pi}\frac{\partial}{\partial r}(\frac{1}{r})_{r=r_\varepsilon}=-\frac{1}{4\pi}\frac{1}{r_\varepsilon^2}\)利用中值定理，得到
\[\begin{align}
\lim\limits_{r_\varepsilon \to 0}\iint _{S_\varepsilon} \phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\text d S=
\lim\limits_{r_\varepsilon \to 0}\left [\phi\cdot \left( - \frac{1}{4\pi r_\varepsilon^2} \right)\cdot 4\pi r_\varepsilon^2\right]
=-\phi(x,y,z)
\end{align}
\]
\[\begin{align}
\lim\limits_{r_\varepsilon \to 0}\iint _{S_\varepsilon} \psi \frac{\partial \phi}{\partial n}\text d S=
\lim\limits_{r_\varepsilon \to 0}\left [\frac{\partial \phi}{\partial n}\cdot \left( - \frac{1}{4\pi r_\varepsilon} \right)\cdot 4\pi r_\varepsilon^2\right]
=0
\end{align}
\]
格林第二公式可以化简为
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\iint _{S} \psi \frac{\partial \phi}{\partial n}\text d S+
\iint _{S_\varepsilon} \psi \frac{\partial \phi}{\partial n}\text d S=
\iint _{S} \phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\text d S
\iint _{S_\varepsilon} \phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\text d S\\
\iint _{S} \psi \frac{\partial \phi}{\partial n}\text d S+
(0)=
(-\phi)+
\iint _{S_\varepsilon} \phi \frac{\partial \psi}{\partial n}\text d S
\\
\phi(x,y,z)=-\frac{1}{4\pi} \iint _{S}\left[\phi\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{r}\right)-\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial n} \right] \text d S
\end{aligned}
\end{equation}
\]
对于场点落在流场边界，作一半球
\[\phi(x,y,z)=-\frac{1}{2\pi} \iint _{S}\left[\phi\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{r}\right)-\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial n} \right]\text d S
\]
对于场点落在流场外部，
\[0=\iint _{S}\left[\phi\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{r}\right)-\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial n} \right] \text d S
\]
归纳起来
\[\begin{align}
\iint _{S}\left[\phi\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{r}\right)-\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial n} \right]\text d S=
\begin{cases}
-4\pi \phi(x,y,z),&P \in \tau \\
-2\pi \phi(x,y,z),&P \in S \\
\qquad0,&P\notin \tau+S
\end{cases}
\end{align}
\]
流域外部问题
如果研究的是封闭曲面\(S\)以外区域的流场，则认为流域的边界面可以认为是\(S+S_\infin\)，\(S_\infin\)为外部假想球面，半径\(R\rightarrow\infin\)，在\(S_\infin\)上有：
\[\begin{equation}
\begin{aligned}
\iint _{S_\infin}\left[\phi\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{r}\right)-\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial n} \right]\text d S=&
-\iint _{S_\infin}\left[\phi\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial r} \right]\text d S\\
=&-\iint _{S_\infin}\left[\phi\frac{1}{R^2}-\frac{1}{R}\frac{\partial \phi}{\partial r} \right]\text d S\\
\end{aligned}
\end{equation}
\]
当半径\(R\rightarrow\infin\)时，\(\phi\)满足
- \(\phi \rightarrow O\left(\frac{1}{R^{\alpha}}\right),\alpha >0\)
- \(\frac{\partial \phi}{\partial r} \rightarrow O\left(\frac{1}{R}\right)\)
\[\begin{align}
\lim \limits_{R \rightarrow \infin}\iint _{S_\infin}\left[\phi\frac{1}{R^2}-\frac{1}{R}\frac{\partial \phi}{\partial r} \right]\text d S=0
\end{align}
\]
此时的法向与之前一节定义的相反，由流场内指向流场外部。
格林函数的选取
对于之前提及的\(\psi=-\frac{1}{4\pi r(P,Q)}\)只是泊松方程的一个特解，但是\(\psi\)的形式并不唯一，如果存在域\(\tau\)内处处调和的函数\(G^*(P,Q)\)，则
\[\begin{align}
\psi(P,Q)=-\frac{1}{4\pi}\left [ \frac{1}{r(P,Q)}+G^*(P,Q)\right]=-\frac{1}{4\pi}G(P,Q)
\end{align}
\]
因此，格林第三公式可以写作：
\[\begin{align}
\iint _{S}\left[\phi\frac{\partial G}{\partial n}-G\frac{\partial \phi}{\partial n} \right]\text d S=
\begin{cases}
-4\pi \phi(x,y,z),&P \in \tau \\
-2\pi \phi(x,y,z),&P \in S \\
\qquad0,&P\notin \tau+S
\end{cases}
\end{align}
\]
式中，\(P,Q\)为\(S\)边界上的点。若在\(S\)上给定\(\frac{\partial \phi (Q)}{\partial n}\)
