摘要：
此处的内容我认为是极其重要的，也是学习这门课程时最令我兴奋的部分。在这里我们可以看到对于外测度的不可加性证明的绝妙，同时，这里也体现了数学家对于测度定义的取舍、以及如此取舍的理由。注意，这是一个长证明，其中包含了若干个（我个人发现的）有趣的引理、推论及它们的证明，我会详细阐述对这些构造的理解。此部分 阅读全文
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我知道有很多人理解不了 “条件期望” (Conditional Expectation) 这个东西，有的时候没看清把随机变量看成事件，把 $\sigma$-algebra 看成随机变量从而思路全错的时候，我也会觉得莫名奇妙。所以在这里用一个极其简单的例子解释一下，只要你是一只上过高中的草履虫那就能听 阅读全文
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Definition. (Lebesgue outer measure) 对于任意集合 $A \subset \mathbb{R}$ 的勒贝格外测度（Lebesgue outer measure）定义为： $$ m^{*}(A) = \inf Z_{A}, \quad \mbox{where } Z 阅读全文
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Self-Attention 的基本结构与计算 Attention（注意力）实际上就是权重的另一种应用的称呼，其具体结构与初始输入的 content $\vec{x_{1}}, \vec{x_{2}}, \cdots, \vec{x_{n}} \in \mathcal{X}$ 紧密相关。其中， $\ 阅读全文
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Definition. (Measure of bounded intervals) 假设 $I$ 为一个任意形式的有界区间，即 $(a, ~ b)$ 或 $[a, ~ b)$ 或 $(a, ~ b]$ 或 $[a, ~ b]$，其中 $a, ~ b \in \mathbb{R}, ~ a \leq 阅读全文
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$ARMA(1, ~ 1)$ process is a time series $\left{ X_{t} \right}$ defined as: $$ X_{t} - \phi X_{t-1} = Z_{t} + \theta Z_{t-1} $$ where $|\phi| < 1$ and 阅读全文
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We introduced measure and Lebesgue Integral due to the deficiency of Riemann Integral. In general, there are at least three problematic issues about R 阅读全文
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首先我们先定义 \(\mathbb{R}\) 上的开区间： An open interval in \(\mathbb{R}\) is any set of the form: \[ \left\{ x \in \mathbb{R}: ~ a < x < b \right\},\quad\mbox{ 阅读全文
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Definition. (Product $\sigma-$field) Let \(\Omega_1\) and \(\Omega_2\) be two (universal) sets and \(\Omega ~ = ~ \Omega_1 \times \Omega_2\) be the Ca 阅读全文
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控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem）是继Fatou's Lemma与单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）后的又一重要定理，在测度论、条件期望、随机微积分中有诸多重要应用。 在证明前先引入一条引理： Lemma 对于任意实序列 阅读全文