Copula
金融数据常体现相关性，传统多元分析的统计方法通常假设联合正态分布，然而这种做法的局限性很强，因为金融数据通常并不体现“正态”。
Copula: 提供灵活与通用的生成给定单变量边际分布的多元分布。由于边际分布已确定，联合分布则能通过这已确定的边际分布变换到单位立方体 cube: \([0, 1]\) 上。
一个 \(n\) 元的 copula 是在单位立方体 cube \([0, 1]\) 上的多元分布，并且其边际的分布为 \(\mbox{Uniform}(0, ~ 1)\)。
先从二元的 copula 入手
Definition 1.
设有一个定义在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 上的二元函数 \(G\)，如果：
\[\forall u, v \in [0, 1]: ~ G(u, 0) = G(0, v) = 0
\]
则称 bivariate function \(G\) is grounded。
定义 1. 的意思即是说一个 grounded bivariate function，必定满足定义域为 \([0, 1] \times [0, 1]\)，并且函数在定义域正方形靠在 \(x, y\) 两轴上的边上取值为 \(0\)。
Definition 2.
如果：
\[\forall u_{1} \leq u_{2}, ~ v_{1} \leq v_{2}: ~ G(u_{2}, v_{2}) - G(u_{2}, v_{1}) - G(u_{1}, v_{2}) + G(u_{1}, v_{1}) \geq 0
\]
那么称：bivariate function \(G\) is 2-increasing。并且，如果 \(G\) 同时二阶可微，那么：
\[\mbox{2-increaing} \quad \iff \quad \frac{\partial^{2}G(u, v)}{\partial u \partial v} \geq 0
\]
这里前半句的意思实际是，在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 的正方形区域内，任意再取一个小正方形，使得四个点坐标分别为：左下： \((u_{1}, v_{1})\)， 右下：\((u_{2}, v_{1})\)， 左上：\((u_{1}, v_{2})\) 以及右上： \((u_{2}, v_{2})\)。那么此处条件实际为：
\[\mbox{左下 + 右上 $\geq$ 左上 + 右下}
\]
Definition 3.
一个二元 copula \(C\) 是一个定义在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 上的函数，同时满足：
(a) \(C\) is grounded.
(b) \(C\) is \(\mbox{2-increasing}\).
(c) 对于 \(\forall u, v \in [0, 1]: ~ C(u, 1) = u, ~ C(1, v) = v\)
Corollary 1.
一个二元函数 当且仅当 它定义在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 上且边际分布服从均匀分布时（很显然只能是\(\mbox{Unif}[0, 1]\) 的均匀分布）为一个 copula。
Proof.
\(\Longleftarrow\)
假设有一个二元函数 \(f_{X, Y}(x, y)\) 其中 \(x, y \in [0, 1]\)，并且对于 marginal distribution 有：
\[\int^{1}_{0} f_{X, Y}(x, y) ~ dy= f_{X}(x) = a \in \mathbb{R}\\
\int^{1}_{0} f_{X, Y}(x, y) ~ dx= f_{Y}(y) = b \in \mathbb{R}\\
\]
- 首先，copula 的定义域条件 （i.e. \([0, 1] \times [0, 1]\)）已经给出。并且显然 \(a = b = 1\)，因为：
\[\int^{1}_{0}\int^{1}_{0} f_{X, Y}(x, y) ~ dy~dx = 1 = \int^{1}_{0} a ~ dx = a\\
\int^{1}_{0}\int^{1}_{0} f_{X, Y}(x, y) ~ dx~dy = 1 = \int^{1}_{0} a ~ dy = b\\
\]
\[\begin{align*}
\int^{1}_{0} f_{X, Y}(0, y) ~ dy = f_{X}(0) = a \quad & \implies \quad \frac{\partial \int^{1}_{0} f_{X, Y}(0, y) ~ dy}{\partial y} = \frac{\partial f_{X}(x)}{\partial y} = 0\\
& \implies \quad f_{X, Y}(0, y) = 0
\end{align*}
\]
同理，当 \(y = 0\) 时，
\[\begin{align*}
\int^{1}_{0} f_{X, Y}(x, 0) ~ dx = f_{Y}(0) = b \quad & \implies \quad \frac{\partial \int^{1}_{0} f_{X, Y}(x, 0) ~ dx}{\partial x} = \frac{\partial f_{Y}(y)}{\partial x} = 0\\
& \implies \quad f_{X, Y}(x, 0) = 0
\end{align*}
\]
因此函数 \(f_{X,Y}(x,y)\) is grounded.
\[F_{X, Y}(x, y) = \int^{y}_{0} \int^{x}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt
\]
那么对于：
\[\begin{align*}
\forall y \in [0, 1]: ~ F_{X, Y}(1, y) & = \int^{y}_{0} \int^{1}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \\
& = \int^{y}_{0} f_{Y}(t) ~ dt \\
& = \int^{y}_{0} 1 ~ dt \\
& = y
\end{align*}
\]
同理：
\[\begin{align*}
\forall x \in [0, 1]: ~ F_{X, Y}(x, 1) & = \int^{1}_{0} \int^{x}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \\
& = \int^{x}_{0} \int^{1}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ dt ~ ds \\
& = \int^{x}_{0} f_{X}(s) ~ ds \\
& = \int^{x}_{0} 1 ~ dt \\
& = x
\end{align*}
\]
- 对于 \(\forall x_{1} \leq x_{2}, ~ y_{1} \leq y_{2}, ~ x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} \in [0, 1]\)：
\[\begin{align*}
& F_{X, Y}(x_{2}, y_{2}) + F_{X, Y}(x_{1}, y_{1}) - F_{X, Y}(x_{2}, y_{1}) - F_{X, Y}(x_{1}, y_{2}) \\
= & \int^{y_{2}}_{0} \int^{x_{2}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt + \int^{y_{1}}_{0} \int^{x_{1}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt ~ - \\& \int^{y_{2}}_{0} \int^{x_{1}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt - \int^{y_{1}}_{0} \int^{x_{2}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt\\
= & \int^{y_{2}}_{0} \left( \int^{x_{2}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds - \int^{x_{1}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds \right) ~ dt ~ + ~ \\
& \int^{y_{1}}_{0} \left( \int^{x_{1}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds - \int^{x_{2}}_{0} f_{X, Y}(s, t) ~ ds \right) ~ dt \\
= & \int^{y_{2}}_{0} \int^{x_{2}}_{x_{1}} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt ~ - \int^{y_{1}}_{0} \int^{x_{2}}_{x_{1}} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \\
= & \int^{y_{2}}_{y_{1}} \int^{x_{2}}_{x_{1}} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt
\end{align*}
\]
因此，由于 \(x_{2} \geq x_{1}, ~ y_{2} \geq y_{1}\)，并且对于 \(\forall x, y \in [0, 1]: ~ f_{X, Y}(x, y) \geq 0\)，所以根据 Riemann Integration 的基本性质，可得：
\[ \int^{y_{2}}_{y_{1}} \int^{x_{2}}_{x_{1}} f_{X, Y}(s, t) ~ ds ~ dt \geq 0
\]
这意味着：
\[\forall x_{1} \leq x_{2}, ~ y_{1} \leq y_{2}, ~ x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} \in [0, 1]: ~ F_{X, Y}(x_{2}, y_{2}) + F_{X, Y}(x_{1}, y_{1}) - F_{X, Y}(x_{2}, y_{1}) - F_{X, Y}(x_{1}, y_{2}) \geq 0
\]
因此函数 \(F_{X,Y}(x, y)\) is 2-increasing。
综上所述，由 copula 的定义，即证毕函数 \(F_{X,Y}(x,y)\) 为一个 copula。
\(\Longrightarrow\)
假设函数 \(C(u, v)\) 是一个 copula，那么它定义在 \([0, 1] \times [0, 1]\) 之上，即 \(u, v \in [0, 1]\)。
Copula 满足 2-increasing, 那么对于 \(\forall u_{1} \leq u_{2}, ~ v_{1} \leq v_{2}\)：
\[C(u_{2}, v_{2}) - C(u_{2}, v_{1}) - C(u_{1}, v_{2}) + C(u_{1}, v_{1}) \geq 0
\]
同时 \(C(u, v)\) 还应当满足：
\[\forall u, v \in [0, 1]: ~ C(u, 1) = C(1, v) = 1, ~ C(u, 0) = C(0, v) = 0
\]
那么自然能够求得 二维 copula \(C\) 的两个边缘分布：
\[C_{U} = \int^{1}_{0} C(u, 1) ~ du = \int^{1}_{0} 1 ~ du = 1\\
C_{V} = \int^{1}_{0} C(1, v) ~ dv = \int^{1}_{0} 1 ~ dv = 1
\]
故 Corollary 1. 证毕。
Corollary 2.
以下三个函数都为 copulas：
（a） \(C^{-}(u, v) = \max(u + v - 1, ~ 0)\)
（b） $ C^{+}(u, v) = \min(u, ~ v)$
（c） \(C^{\perp}(u, v) = u \cdot v\)
Definition 4.
对于两个 copulas: \(C_{1}\) 和 \(C_{2}\)，如果对于 \(\forall u, v \in [0, 1]\)，都满足 \(C_1(u, v) \leq C_{2}(u, v)\)，则称 \(C_{1}\) 小于 \(C_{2}\)，记作 \(C_{1} \prec C_{2}\)。
Corollary 3.
对于任意一个 copula \(C\), 都有：\(C^{-} \prec C \prec C^{+}\)。
Proof.
Copula \(C\) 是一个如下所示的二元函数：
\[C: [0, 1] \times [0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad (u, v) \longrightarrow C(u, v)
\]
根据定义，有：
\[\forall u \in [0, 1]: ~ C(u, 1) = u\\
\forall v \in [0, 1]: ~ C(1, v) = v
\]
现在，我们在函数的正方形定义域 \([0, 1] \times [0, 1]\) 内构造另外一个正方形，其中它的四个顶点的坐标分别为：
\[(u, 0), ~ (1, 0), ~ (1, v), ~ (u, v)
\]
根据 2-increasing 的性质，我们有：
\[C(1, v) + C(u, 0) \geq C(1, 0) + C(u, v)
\]
一个 copula 根据定义必须 grounded，这意味着：
\[C(u, 0) = C(1, 0) = 0
\]
因此：
\[C(1, v) \geq C(u, v)
\]
相似地，我们可以建立另外一个正方形，通过相同操作得到：
\[C(u, 1) \geq C(u, v)
\]
因此我们已经证明：
\[\min(u, v) \geq C(u, v)
\]
欲想证明 \(C(u, ~ v) \geq C^{-}(u, v)\)，首先注意到：
\[\begin{align*}
C(u, v) & = P(U \leq u, ~ V \leq v) = P(U \leq u) + P(V \leq v) - P(\left\{ U \leq u \right\} \cup \left\{ V \leq v \right\})\\
& \geq u + v - 1
\end{align*}
\]
根据定义，我们有：
\[C(u, v) \geq 0
\]
因此：
\[C(u, v) \geq \max(u + v - 1, ~ 0) = C^{-}(u, ~v)
\]
我们最终可得：
\[C^{-}(u, v) \leq C(u, v) \leq C^{+}(u, v)
\]
Sklar Theorem (Sklar, 1959)
令 \(F_{1}\) 和 \(F_{2}\) 为两个单变量分布函数，那么以下结论成立：
-
如果 \(C\) 是一个 copula，那么 \(C(F_{1}(x), ~ F_{2}(y))\) 是一个 bivariate distribution function。
-
若 \(F(x, y)\) 是一个 bivariate distribution function，且拥有边界分布 \(F_{1}\) 和 \(F_{2}\)，那么恰好存在一个 copula \(C\) 使得 \(F(x, y) = C(F_{1}(x), ~ F_{2}(y))\)。
注： 在 2. 中，copula 可以被表示为 \(C(u, v) = F\left( F^{-1}_{1}(x), ~ F^{-1}_{2}(y) \right)\)
Gaussian Copulas
对于一个二元高斯（正态）分布，其边际密度函数（marginal P.D.F.）分别为 \(N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2})\) 和 \(N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2})\)，且两个随机变量的相关系数为 \(\rho\)，我们则可以通过 Sklar Theorem 中的 1. 来求得 copula C。因为在对两个正态随机变量进行标准化（即 \(\frac{X - \mu_{1}}{\sigma_{1}}\) 和 \(\frac{Y - \mu_{2}}{\sigma_{2}}\)）后，copula C 不再取决于边际函数（即两个正态随机变量）的变量与方差，而是仅仅取决于相关系数 \(\rho\)，即：
令 \(\phi\) 记为标准正态分布，令 \(\phi_{\rho}\) 记作两个边际函数皆为标准正态分布的二元高斯分布， 且两边际随机变量的相关系数为 \(\rho\)，我们则有：
\[C^{G}_{\rho}(u, v) = \phi_{\rho}\left( \phi^{-1}(u), ~ \phi^{-1}(v) \right)
\]
同时，我们称 \(\left\{ C^{G}_{\rho} : \rho \in [−1, 1] \right\}\) 为 “the family of Gaussian Copulas“。
Archimedean Copulas
生成器（Generator） \(g\) 是一个在 \([0, 1]\) 上严格递减的函数，且 \(g(1) = 0\)。一个 generator \(g\) 所对应的 Archimedean Copula 记作：
\[C^{A}_{g}(u, v) = g^{-1}\left( g(u) + g(v) \right)
\]
其中，当 \(g(0) < \infty\) 时，定义：\(g^{-1}(x) = 0\) for \(\forall x \geq g(0)\)。
Gumbel
令：
\[g_{\alpha}(u) = (−\log{u})^{\alpha}, \qquad \alpha \in [1, \infty]
\]
此时：
\[C_{\alpha}(u, v) = e^{-\left[ (-\log{u})^{\alpha} + (-\log{v})^{\alpha}\right]^\frac{1}{\alpha}}
\]
Clayton
令：
\[g_{\alpha}(u) = \begin{cases}
\alpha^{−1} \left( u^{-\alpha} − 1 \right) \qquad \quad \alpha \in \left[−1, 0 \right) \cup \left(0, \infty \right)\\
-\log{u} \qquad \qquad \qquad \alpha = 0
\end{cases}
\]
那么其对应的 Copula 为：
\[C_{\alpha}(u, v) = \frac{1}{\left[ \max(u^{-\alpha} + v^{-\alpha} - 1, ~ 0) \right]^{\frac{1}{\alpha}}} \qquad \qquad \alpha \in \left[−1, 0 \right) \cup \left(0, \infty \right)
\]
Frank
令：
\[g_{\alpha}(u) = \begin{cases}
-\log\left[ \frac{e^{-\alpha u}-1}{e^{-\alpha}-1} \right] \qquad \quad \alpha \in \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\} \\
-\log{u} \qquad \qquad \qquad \alpha = 0
\end{cases}
\]
那么其对应的 Copula 为：
\[C_{\alpha}(u, v) = -\frac{1}{\alpha} \cdot \log\left[ 1 + \frac{(e^{-\alpha u}-1)(e^{-\alpha v}-1)}{e^{-\alpha}-1} \right] \qquad \qquad \alpha \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\}
\]
