Stochastic Methods in Finance (1)

Bootcamp

Topics related to measure theory.

略去，详见测度论专栏中的文章

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Expectations

令 $X$ 为 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上的随机变量，$\mathbb{E}[X]$ 为其期望。一些期望的特殊表示如下：

• $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 为简单函数，即，$X$ 在有限集 $\left\{x_{1},\ldots, x_{n} \right\}$ 中取值，则：

  $$\mathbb{E}[X] := \sum\limits^{n}_{i=1} x_{i} P(X = x_{i})$$

• $X \geq 0$ almost surely，则：

  $$\mathbb{E}[X] := \sup \left\{ \mathbb{E}[Y]: ~ Y \mbox{ is simple, } ~ 0 \leq Y \leq X \mbox{ almost surely. } \right\}$$

  注意，非负随机变量的期望可能为 $\infty$。

• $\mathbb{E}[X^{+}]$ 或 $\mathbb{E}[X^{-}]$ 其中之一是有限的，则：

  $$\mathbb{E}[X] := \mathbb{E}[X^{+}] - \mathbb{E}[X^{-}]$$

• $X$ 为一个向量，且 $\mathbb{E}[|X|] < \infty$，则：

  $$\mathbb{E}\Big[\left(X_{1}, \ldots, X_{d}\right)\Big] := \Big( \mathbb{E}[X_{1}], \ldots, \mathbb{E}[X_{d}] \Big)$$

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Jensen's Inequality （琴生不等式）

令 $X$ 为一个随机变量，$g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 为一个凸函数。那么当 $X$ 的期望存在时：

$$\mathbb{E}[g(X)] \geq g\left(\mathbb{E}[X] \right)$$

若 $g$ 为严格凸函数，则以上不等式可随之写为严格大于的形式（除非 $X$ 取常数值）。

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• 注（Convex function）：

  函数 $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ 称作一个凸函数，如果：

  $$\forall ~ t \in [0, ~ 1]: ~ \forall ~ x_{1}, x_{2} \in X: ~ f\Big( tx_{1} + (1-t) x_{2} \Big) \leq t\cdot f(t x_{1}) + (1-t) \cdot f(x_{2})$$

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Self-Financing Condition

A self-financing strategy is defined as a consumption stream $(c_{t})_{t\geq 0}$ which follows:

$$(c_{t} - c_{t+1})\cdot P_{t} = 0 \qquad \quad \mbox{for } \forall t \geq 0$$

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Numeraire (计价单位)

• $(\eta_t)_{t\geq 0}$ 为 previsible process.

• $\eta_{t} \cdot P_{t} > 0$ almost surely, i.e., $P(\eta_t \cdot P_{t} > 0) = 1$.

• $(\eta_{t})_{t\geq 0}$ 满足 self-financing condition, i.e.,

  $$(\eta_{t} - \eta_{t+1}) \cdot P_{t} = 0 \qquad \quad \mbox{for } \forall t\geq 0$$

  这实际上意味着：

  $$\eta_{t} \cdot P_{t} = \eta_{t+1} \cdot P_{t} \qquad \qquad \text{for } ~ \forall t \geq 0$$

  注意，以上式子中两侧的 $P_{t}$ 不能随手约去，因为等式两边是两个向量的内积运算。

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Numeraire Asset

• A numeraire asset is an asset with strictly positive price.

• 若 asset $i$ 为一个 numeraire asset，那么对于 $\forall t \geq 0$，定义 constant portfolio $\eta$：

  $$\eta_{t}^{j} = \begin{cases} 1 \qquad \text{if } j = i\\ 0 \qquad \text{otherwise} \end{cases}$$

  为一个 numeraire portfolio。

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Investment-Consumption Strategy

$$\begin{align*} c_{0} & = x - H_{1} \cdot P_{0}\\ c_{t} & = (H_{t} - H_{t+1}) \cdot P_{t} \qquad \qquad \mbox{for } t \geq 1 \end{align*}$$

其中 $x$ 为初始财富。

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Terminal Consumption Strategy

$$\begin{align*} c_{0} & = -H_{1} \cdot P_{0} = 0\\ c_{t} & = (H_{t} - H_{t+1}) \cdot P_{t} = 0 \qquad \qquad \mbox{for } 1 \leq t \leq T-1\\ c_{T} & = H_{T} \cdot P_{T} \geq 0 \\ \mbox{and} \qquad \qquad \\ P( &c_{T} > 0) > 0 \end{align*}$$

其中 $H$ 为 previsible process，non-random $T > 0$ 使得以上 holds almost surely。

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Pure Investment Strategy

对于 $\forall t \geq 0$，每一期持仓 $H_{t}$，但将每一期的 consumption $c_{t}$ 不用于消费，而是用于投资 numeraire portfolio $\eta_{t}$。

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Theorem. 局部鞅 $\rightarrow$ 鞅的充分条件 (local martingales to true martingales: sufficient condition)

令 $X$ 为一个离散或连续的 local martingale，令过程 $(Y_{t})_{t\geq 0}$ 满足：

$$\mbox{for } ~ \forall ~ s,t, ~ 0 \leq s \leq t: ~ |X_{s}| \leq Y_{t} \mbox{ almost surely}$$

若 $\mathbb{E}[Y_{t}] \leq \infty, ~ \mbox{ for } ~ \forall ~ t \geq 0$，那么 $X$ 为一个 true martingale。

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证明：

由于 $(X_{t})_{t\leq 0}$ 为一个 local martingale，根据定义存在一个 stopping time series (localizing sequence)：$(\tau_{N})_{N\geq0}$，满足 $\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \tau_{N} = \infty$，使得对于 $\forall ~ N \geq 0$，$\Big(X^{\tau_{N}}_{t}\Big)_{t \geq 0} = \Big(X_{t \land \tau_{N}}\Big)_{t\geq 0}$ 为 true martingale。

首先证明 $(X_{t})_{t\geq 0}$ 可积。对于任意 $t \geq 0$，取任意 $T \geq t$，根据条件：$|X_{t}| \leq Y_{T}$ almost surely。又因为：$\forall ~ T \geq 0: ~ \mathbb{E}[Y_{T}] < \infty$，那么：

$$\mbox{for } ~ \forall ~ t \geq 0: ~ |X_{t}| \leq Y_{T} \quad \implies \quad \mathbb{E}[X_{t}] \leq \mathbb{E}[Y_{T}] < \infty$$

因此 $(X_{t})_{t\geq 0}$ integrable。

将 $X_{t\land\tau_{N}}$ 视作一个下标为 $N$ 的序列，即：

$$\Big\{ X_{t\land \tau_{N}} \Big\}_{N\geq 0} = X_{t\land \tau_{1}}, ~ X_{t\land \tau_{2}}, ~ X_{t\land \tau_{3}}, ~ \ldots$$

注意到 $X_{t\land \tau_{N}} = X_{\min(t, \tau_{N})} \longrightarrow X_{t}$ almost surely with $N \longrightarrow \infty$，即：

$$\mbox{for } ~ \forall ~ t \geq 0: ~ \forall ~ \varepsilon > 0: ~ P\left( \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \left| X_{t\land \tau_{N}} - X_{t} \right| > \varepsilon \right) = 0$$

这是因为 $\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \tau_{N} = \infty$，$t \land \tau_{N} = \min(t, \tau_{N})$ 自然随 $N$ 增大而收敛于 $t$。

所以对于 $\forall ~ 0 \leq s \leq t$：

$$\begin{align*} \mathbb{E}[X_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}] & = \mathbb{E}\Big[\lim\limits_{N\rightarrow \infty}X_{t\land \tau_{N}} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}\Big]\\ & = \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Big[ X_{t\land\tau_{N}} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}\Big] \quad (\mbox{Dominated Convergence Theorem})\\ & = \lim\limits_{N \rightarrow \infty} X_{s \land \tau_{N}} \quad (\mathbf{*})\\ & = X_{s} \end{align*}$$

因此：local martingale $(X_{t})_{t\geq 0}$ 在给定的条件下也为一个 true martingale。

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• 注意：

  以上带星号的那一步推导中，鞅 $\Big(X_{t\land\tau_{N}}\Big)_{t\geq 0}$ 的下标依然是 $t$，尽管现在复合为 $t\land \tau_{N}$。因此在这一步中我们只需将 $t$ 替换为 $s$ 即可。

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Corollary.

假设 $X$ 一个 离散 时间 local martingale，使对于 $\forall ~ t \geq 0: ~ \mathbb{E}[|X_{t}|] < \infty$，那么 $X$ 是一个 true martingale。

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证明：

令 $Y_{t} = |X_{0}| + |X_{1}| + \cdots + |X_{t}|$。Trivially：

$$Y_{t} = |X_{0}| + |X_{1}| + \cdots + |X_{t}| \geq |X_{s}| ~ \mbox{ for } ~ \forall s \in \left\{0, 1, \ldots, t \right\}$$

并且由于：$\forall ~ t \geq 0: ~ \mathbb{E}[|X_{t}|] < \infty$，那么：

$$\begin{align*} \mathbb{E}[Y_{t}] & = \mathbb{E}\Big[ \left|X_{0}\right| + \left|X_{1}\right| + \cdots + \left|X_{t}\right| \Big]\\ & = \sum\limits^{t}_{s=0}\mathbb{E}\big[ \left| X_{s} \right| \big] < \infty \end{align*}$$

所以 $(Y_{t})_{t\geq 0}$ 可积，并且此时 $(X_{t})_{t \leq 0}$ 和 $(Y_{t})_{t\geq 0}$ 恰满足上述 Sufficient Condition，因此 $(X_{t})_{t\geq 0}$ 为一个 true martingale。

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Supermartingale and Submartingale （上鞅与下鞅）

上鞅（Supermartingale）

相关于 filtration $\mathcal{\left\{ F_{t} \right\}}_{t\geq 0}$ 的一个 supermartingale（上鞅）是一个 adapted stochastic process $(U_{t})_{t\geq 0}$，满足以下性质：

• （Integrability）

  $$\forall ~ t \geq 0: ~ \mathbb{E}\big[\left| U_{t} \right|\big] < \infty$$

• （Decrease in average)

  $$\forall ~ 0 \leq s \leq t: ~ \mathbb{E}\big[U_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}\big] \leq U_{s}$$

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下鞅（Submartingale）

相关于 filtration $\mathcal{\left\{ F_{t} \right\}}_{t\geq 0}$ 的一个 submartingale（下鞅）是一个 adapted stochastic process $(V_{t})_{t\geq 0}$，满足以下性质：

• （Integrability）

  $$\forall ~ t \geq 0: ~ \mathbb{E}\big[ | V_{t} | \big] < \infty$$

• （Increase in average)

  $$\forall ~ 0 \leq s \leq t: ~ \mathbb{E}\big[V_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}\big] \geq V_{s}$$

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鞅、上鞅、下鞅

A martingale is a stochastic process that is both a supermartingale and a submartingale.

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Theorem.

假设 $X$ 是一个连续或离散时间上的 local martingale。如果 $X_{t} \geq 0$ 对于 $\forall ~ t \geq 0$ 都成立，那么 $X$ 是一个 supermartingale（上鞅）。

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证明：

令 $(\tau_{N})_{N\geq 0}$ 为相关于 local martingale $(X_{t})_{t\geq 0}$ 的 localizing sequence，即：

$$\forall ~ N \geq 0: ~ \Big(X^{\tau_{N}}_{t} \Big)_{t\geq 0} ~ \mbox{ is a true martingale.}$$

首先证明 $(X_{t})_{t \geq 0 }$ 可积。由 Fatou's Lemma：

$$\begin{align*} \mathbb{E}\big[|X_{t}|\big] & = \mathbb{E}[X_{t}] \\ & = \mathbb{E}\Big[\lim\limits_{N \rightarrow \infty} X_{t \land \tau_{N}}\Big] \\ & = \mathbb{E}\Big[\liminf\limits_{N \rightarrow \infty} X_{t \land \tau_{N}}\Big] \\ & \leq \liminf\limits_{N \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Big[X_{t\land \tau_{N}}\Big] \\ & = \liminf\limits_{N \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Big[X_{t\land \tau_{N}} ~ \Big| ~ \mathcal{F}_{0} \Big] \\ & = X_{0} < \infty \end{align*}$$

在条件期望上运用 Fatou's Lemma，对于 $\forall ~ 0 \leq s \leq t:$

$$\begin{align*} \mathbb{E}\big[X_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}\big] & = \mathbb{E}\Big[ \lim\limits_{N \rightarrow \infty} X_{t\land \tau_{N}} ~ \Big| ~ \mathcal{F}_{s} \Big] \\ & = \mathbb{E}\Big[ \liminf\limits_{N \rightarrow \infty} X_{t\land \tau_{N}} ~ \Big| ~ \mathcal{F}_{s} \Big] \\ & \leq \liminf_{N \rightarrow \infty} \mathbb{E}\Big[ X_{t\land \tau_{N}} ~ \Big| ~ \mathcal{F}_{s} \Big] \\ & = \liminf_{N \rightarrow \infty} X_{s \land \tau_{N}} \\ & = X_{s} \end{align*}$$

因此 $(X_{t})_{t\geq 0}$ 为一个 supermartingale（上鞅）。

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Corollary.

如果 $(X_{t})_{t\geq 0}$ 是一个离散时间 local martingale，且对于任意 $t \geq 0$，有 $X_{t} \geq 0$ almost surely，那么 $(X_{t})_{t\geq 0}$ 是一个 true martingale。

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证明：

通过上述 Theorem，我们有：

$$\mathbb{E}\big[|X_{t}|\big] = \mathbb{E}[X_{t}] \leq X_{0} < \infty$$

由于 $X$ 是可积的，通过上一条 Corollary 可以得出 $(X_{t})_{t\geq 0}$ 是一个 martingale 的结论。

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Theorem.

假设：

$$X_{t} = X_{0} + \sum\limits^{t}_{s=1} K_{s} (M_{s} - M_{s-1})$$

其中，$K$ 是一个 previsible process，$M$ 是一个 local martingale，$X_{0}$ 是一个常数。

如果对于某些非随机的 $T > 0$，有：$X_{T} \geq 0$ almost surely，那么 $(X_{t})_{0\leq t \leq T}$ 是一个 true martingale。

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证明：

略。（太长了，以后有机会补上。）

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随机贴现因子（Stochastic Discount Factor / Pricing Kernel / State Price Density）

在一个没有股息的市场中，在时刻 $s$ 和 $t$ 间（$0 \leq s < t$）的随机贴现因子是一个 adapted positive $\mathcal{F}_{t}-$ measurable random variable $\rho_{s,t}$， 使得：

$$P_{s} = \mathbb{E}\big[\rho_{s,t}P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}\big]$$

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• 令 $Y$ 为一个 martingale deflator（i.e. $\forall 0 \leq s < t: ~ \mathbb{E}[Y_{t}P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s}] = Y_{s}P_{s}$），令 $\rho_{s,t} = \frac{Y_{t}}{Y_{s}}$，若 $\rho_{s,t}P_{t}$ 可积，那么 $\rho_{s,t}$ 为时间 $s$ 与 $t$ 间的 pricing kernel。

  • 证明：

    对于 positivity，由于 $Y$ 为 martingale deflator，则 $\forall t \geq 0: ~ Y_{t} > 0$，所以 $\rho_{s,t} = \frac{Y_{t}}{Y_{s}} > 0$，并且：

    $$\begin{align*} \mathbb{E} \big[ \rho_{s,t} P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s} \big] & = \mathbb{E} \Big[ \frac{Y_{t}}{Y_{s}} P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s} \Big] \\ & = \frac{1}{Y_{s}} \mathbb{E} \big[ Y_{t}P_{t} ~ | ~ \mathcal{F}_{s} \big] \\ & = \frac{1}{Y_{s}} \cdot Y_{s} P_{s} \\ & = P_{s} \end{align*}$$

    因此 $\rho_{s,t}$ 为一个 pricing kernel。

• 相反地，对于 $s\geq 0$，假设 $\rho_{s, s+1}$ 为 时间 $s$ 与 $s+1$ 间的 pricing kernel，令 $Y_{t} = \rho_{0,1} \rho_{1,2} \ldots \rho_{t-1, t}$，且 $YP$ 可积，那么 $Y$ 为一个 martingale deflator。

  • 证明：

    对于 $\forall t \geq 0$，由于 pricing kernel 为正随机变量，则 $Y_{t} = \rho_{0,1} \rho_{1,2} \ldots \rho_{t-1, t} > 0$，并且：

    $$\begin{align*} \mathbb{E} \big[Y_{t+1}P_{t+1} ~ \big| ~ \mathcal{F}_{t} \big] & = \mathbb{E} \big[\rho_{0,1} \rho_{1,2} \ldots \rho_{t-1, t} \rho_{t, t+1} \cdot P_{t+1} ~ \big| ~ \mathcal{F}_{t} \big] \\ & = \rho_{0,1} \rho_{1,2} \ldots \rho_{t-1, t} \cdot \mathbb{E} \big[\rho_{t, t+1} \cdot P_{t+1} ~ \big| ~ \mathcal{F}_{t} \big] \qquad \text{(adaptness)}\\ & = Y_{t} \cdot P_{t} \qquad \text{(by definition)} \end{align*}$$

    因此，$(Y_{t})_{t\geq 0}$ 为一个 martingale deflator。

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Proposition.

考虑存在一个 numeraire $\eta$ 的市场，且令：$N_{t} = \eta_{t} \cdot P_{t} \quad \forall t \geq 0$。令 $H$ 为一个 investment-consumption strategy，即，$H$ 的 consumption stream 定义为：

$$\begin{align*} c_{0} & = x - H_{1} \cdot P_{0}\\ c_{t} & = (H_{t} - H_{t+1}) \cdot P_{t} \end{align*}$$

其中 $x$ 为初始财富。令：

$$K_{t} = H_{t} + \eta_{t} \sum\limits_{s=0}^{t-1} \frac{c_{s}}{N_{s}}$$

那么，$K$ 为一个 pure-investment strategy from the same initial wealth $x$。

特殊地，当且仅当 $K$ 为一个 terminal-consumption arbitrage 时，$H$ 为一个 arbitrage。

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证明：

$$\begin{align*} (K_{t} - K_{t+1}) \cdot P_{t} & = \Big( H_{t} + \eta_{t}\sum\limits_{s=0}^{t-1}\frac{c_{s}}{N_{s}} - H_{t+1} - \eta_{t+1}\sum\limits_{s=0}^{t}\frac{c_{s}}{N_{s}} \Big) \cdot P_{t} \\ & = (H_{t} - H_{t+1}) \cdot P_{t} + \Big( \eta_{t}\sum\limits_{s=0}^{t-1}\frac{c_{s}}{N_{s}} - \eta_{t+1}\sum\limits_{s=0}^{t}\frac{c_{s}}{N_{s}} \Big) \cdot P_{t} \\ & = (H_{t} - H_{t+1}) \cdot P_{t} + \Big( \eta_{t}\sum\limits_{s=0}^{t}\frac{c_{s}}{N_{s}} - \eta_{t+1}\sum\limits_{s=0}^{t}\frac{c_{s}}{N_{s}} - \eta_{t} \frac{c_{t}}{N_{t}} \Big) \cdot P_{t} \\ & = (H_{t} - H_{t+1}) \cdot P_{t} + \Big( \big( \eta_{t} - \eta_{t+1} \big) \sum\limits_{s=0}^{t} \frac{c_{s}}{N_{s}} - \eta_{t} \frac{c_{t}}{N_{t}} \Big) \cdot P_{t} \\ & = (H_{t} - H_{t+1}) \cdot P_{t} - \eta_{t} \cdot P_{t} \frac{c_{t}}{N_{t}} + \big( \eta_{t} - \eta_{t+1} \big) \cdot P_{t} \sum\limits_{s=0}^{t}\frac{c_{s}}{N_{s}} \\ & = (H_{t} - H_{t+1}) \cdot P_{t} - \eta_{t} \cdot P_{t}\frac{c_{t}}{N_{t}} \qquad \text{(Investment-consumption strategy)} \\ & = c_{t} \cdot P_{t} - N_{t} \cdot \frac{c_{t}}{N_{t}} \qquad \text{(By definition)} \\ & = 0 \end{align*}$$

因此，对于 $\forall t \geq 0$，有：

$$(K_{t} - K_{t+1}) \cdot P_{t} = 0$$

由假设：$(\eta_{t})_{t\geq 0}$ 为 pure-investment strategy，则 $(K_{t})_{t\geq 0}$ 亦为 pure-investment strategy。

假设对于 non-random $T$，有：$c_{T} = H_{T}\cdot P_{T}$，那么：

$$\begin{align*} K_{T} \cdot P_{T} & = \Big( H_{T} + \eta_{T}\sum\limits_{s=0}^{T-1}\frac{c_{s}}{N_{s}} \Big) \cdot P_{T} \\ & = H_{T} \cdot P_{T} + \eta_{T} \cdot P_{T} \sum\limits_{s=0}^{T-1}\frac{c_{s}}{N_{s}} \\ & = c_{T} + N_{T} \sum\limits_{s=0}^{T-1}\frac{c_{s}}{N_{s}} \\ & = N_{T} \frac{c_{T}}{N_{T}} + N_{T} \sum\limits_{s=0}^{T-1}\frac{c_{s}}{N_{s}} \\ & = N_{T} \sum\limits_{s=0}^{T}\frac{c_{s}}{N_{s}} \\ \end{align*}$$

$$\implies K_{T} \cdot P_{T} = N_{T} \sum\limits_{s=0}^{T}\frac{c_{s}}{N_{s}}$$

则：当且仅当 某些 $c_{t} ~ (0 \leq t \leq T)$ 取值为 strictly positive 时， 等式左侧 $K_{T} \cdot P_{T}$ 为 strictly positive。

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Lemma. (Bayes formula; from homework 5.)

令 $\mathbb{P}$ 和 $\mathbb{Q}$ 为定义在 $(\Omega, ~ \mathcal{F})$ 上的 equivalent probability measures，令 Radon - Nikodym derivative: $Z = \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}$，令 $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ 为一个 $\sigma-$field。那么：

$$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\big[ X ~ \big| ~ \mathcal{G} \big] = \frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[ZX ~ | ~ \mathcal{G}]}{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z ~ | ~ \mathcal{G}]}$$

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证明：

令 $Y = \frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[ZX ~ | ~ \mathcal{G}]}{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z ~ | ~ \mathcal{G}]}$，欲证：$\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\big[ X ~ \big| ~ \mathcal{G} \big] = Y$，这等价于：

对于 $\forall G \in \mathcal{G}$：

$$\begin{align*} & \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\big[ X ~ \big| ~ \mathcal{G} \big] \cdot \mathbb{I}_{G} = Y \cdot \mathbb{I}_{G} \\ \iff \quad & \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\Big[ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\big[ X ~ \big| ~ \mathcal{G} \big] \cdot \mathbb{I}_{G} \Big] = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \Big[ Y \cdot \mathbb{I}_{G} \Big] \\ \iff \quad & \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\Big[ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\big[ X \cdot \mathbb{I}_{G} ~ \big| ~ \mathcal{G} \big] \Big] = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \Big[ Y \cdot \mathbb{I}_{G} \Big] \\ \iff \quad & \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \big[ X \cdot \mathbb{I}_{G} \big] = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \Big[ Y \cdot \mathbb{I}_{G} \Big] \\ \iff \quad & \int_{G} ~ X ~ d\mathbb{Q} = \int_{G} ~ Y ~ d\mathbb{Q} \end{align*}$$

由 Radon-Nikodym derivative $Z = \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} \implies d\mathbb{Q} = Z \cdot d\mathbb{P}$：

$$\begin{align*} & \int_{G} ~ X ~ d\mathbb{Q} = \int_{G} ~ Y ~ d\mathbb{Q} \\ \iff \quad & \int_{G} ~ X Z ~ d\mathbb{P} = \int_{G} ~ YZ ~ d\mathbb{P} \\ \iff \quad & \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\big[ XZ \cdot \mathbb{I}_{G} \big] = \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\big[ YZ \cdot \mathbb{I}_{G} \big] \end{align*}$$

因此，目标等价于证明：对于 $\forall G \in \mathcal{G}$，有：

$$\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\big[ XZ \cdot \mathbb{I}_{G} \big] = \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\big[ YZ \cdot \mathbb{I}_{G} \big]$$

注意到 $Y = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\big[ X ~ \big| ~ \mathcal{G} \big]$ 为 $\mathcal{G}-$measurable，那么RHS：

$$\begin{align*} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\big[ YZ \cdot \mathbb{I}_{G} \big] & = \mathbb{E}^{\mathbb{P}} \Big[ \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\big[ YZ \cdot \mathbb{I}_{G} ~ \big| ~ \mathcal{G} \big] \Big] \qquad \text{(Tower property)} \\ & = \mathbb{E}^{\mathbb{P}} \Big[ \mathbb{I}_{G}Y \cdot \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\big[ Z ~ \big| ~ \mathcal{G} \big] \Big] \qquad \text{($\mathbb{I}_{G}Y$ is $\mathcal{G}-$measurable)} \\ & = \mathbb{E}^{\mathbb{P}} \Big[ \mathbb{I}_{G} \cdot \frac{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[ZX ~ | ~ \mathcal{G}]}{\mathbb{E}^{\mathbb{P}}[Z ~ | ~ \mathcal{G}]} \cdot \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\big[ Z ~ \big| ~ \mathcal{G} \big] \Big] \\ & = \mathbb{E}^{\mathbb{P}} \Big[ \mathbb{I}_{G} \cdot \mathbb{E}^{\mathbb{P}} \big[ZX ~ \big| ~ \mathcal{G} \big] \Big] \\ & = \mathbb{E}^{\mathbb{P}} \Big[ \mathbb{E}^{\mathbb{P}} \big[ZX \cdot \mathbb{I}_{G} ~ \big| ~ \mathcal{G} \big] \Big] \qquad \text{($\mathbb{I}_{G}$ is $\mathcal{G}-$measurable)} \\ & = \mathbb{E}^{\mathbb{P}} \big[ ZX \cdot \mathbb{I}_{G} \big] \qquad \text{(Tower property)} \end{align*}$$

证毕。