Measure Theory - 文章分类 - 车天健

测度论：Measure Theory (8) —— Non-Additivity of Outer Measure

摘要：此处的内容我认为是极其重要的，也是学习这门课程时最令我兴奋的部分。在这里我们可以看到对于外测度的不可加性证明的绝妙，同时，这里也体现了数学家对于测度定义的取舍、以及如此取舍的理由。注意，这是一个长证明，其中包含了若干个（我个人发现的）有趣的引理、推论及它们的证明，我会详细阐述对这些构造的理解。此部分阅读全文

posted @ 2022-10-22 23:08 车天健阅读(819) 评论(0) 推荐(2) 编辑

测度论：Measure Theory (7) —— Outer measure

摘要：Definition. (Lebesgue outer measure) 对于任意集合

A \subset R

$A \subset \mathbb{R}$ 的勒贝格外测度（Lebesgue outer measure）定义为： $$ m^{*}(A) = \inf Z_{A}, \quad \mbox{where } Z 阅读全文

posted @ 2022-09-12 07:07 车天健阅读(294) 评论(0) 推荐(1) 编辑

测度论：Measure Theory (6)

摘要：Definition. (Measure of bounded intervals) 假设

I

$I$ 为一个任意形式的有界区间，即

(a, b)

$(a, ~ b)$ 或

[a, b)

$[a, ~ b)$ 或

(a, b]

$(a, ~ b]$ 或

[a, b]

$[a, ~ b]$ ，其中 $a, ~ b \in \mathbb{R}, ~ a \leq 阅读全文

posted @ 2022-08-17 15:10 车天健阅读(258) 评论(0) 推荐(1) 编辑

测度论：Measure Theory (5) —— The Deficiency of Riemann Integral

摘要：We introduced measure and Lebesgue Integral due to the deficiency of Riemann Integral. In general, there are at least three problematic issues about R 阅读全文

posted @ 2022-06-21 10:39 车天健阅读(302) 评论(0) 推荐(1) 编辑

测度论：Measure Theory (4)

摘要：首先我们先定义

R

$\mathbb{R}$ 上的开区间： An open interval in

R

$\mathbb{R}$ is any set of the form: \[ \left\{ x \in \mathbb{R}: ~ a < x < b \right\},\quad\mbox{ 阅读全文

posted @ 2022-06-17 07:29 车天健阅读(533) 评论(0) 推荐(0) 编辑

测度论：Measure Theory (3)

摘要：Definition. (Product

σ -

$\sigma-$ field) Let

Ω_{1}

$\Omega_1$ and

Ω_{2}

$\Omega_2$ be two (universal) sets and

Ω = Ω_{1} \times Ω_{2}

$\Omega ~ = ~ \Omega_1 \times \Omega_2$ be the Ca 阅读全文

posted @ 2022-05-27 15:05 车天健阅读(100) 评论(0) 推荐(0) 编辑

控制收敛定理：Dominated Convergence Theorem

摘要：控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem）是继Fatou's Lemma与单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）后的又一重要定理，在测度论、条件期望、随机微积分中有诸多重要应用。在证明前先引入一条引理： Lemma 对于任意实序列阅读全文

posted @ 2022-05-27 05:33 车天健阅读(3882) 评论(0) 推荐(0) 编辑

测度论：Measure Theory (2) —— Monotone Class Theorem（单调类定理）

摘要：这是我的笔记以及一些个人理解，其中大多证明系本人完成。单调类定理是我初次接触测度论时遇见的第一个难以理解其证明的定理，其中对三个集类的构造颇有“左脚踩右脚上天”的感觉。但在测度论中此类构造证明比比皆是，例如后面我会讲到Vitali对不可测集的构造。 Definition. (Monotone Cl 阅读全文

posted @ 2022-05-23 10:39 车天健阅读(558) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Fatou's Lemma 与单调收敛定理（MCT）

摘要：Fatou's Lemma and Monotone Convergence Theorem (MCT) 法图引理和单调收敛定理在测度论中，Fatou's Lemma和单调收敛定理(MCT)是尤为重要的两个结论，它们不仅可以各自单独被证明，还可以进行互推（即，在已知Fatou's Lemma的条件阅读全文

posted @ 2022-05-21 06:10 车天健阅读(2977) 评论(0) 推荐(0) 编辑

测度论：Measure Theory (1)

摘要：

这是我的笔记以及一些个人理解，其中大多证明系本人完成。 Notations

\mathbb{N} = \left{0, 1,2,\ldots\right}

$\mathbb{N} = \left{0, 1,2,\ldots\right}$ - 自然数集

\mathbb{Z} = \left{\ldots,-2, -1,0,1,2,\ldots \right}

$\mathbb{Z} = \left{\ldots,-2, -1,0,1,2,\ldots \right}$ - 整数集 $ 阅读全文

posted @ 2022-05-16 14:20 车天健阅读(374) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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