测度论：Measure Theory (7) —— Outer measure

Definition. (Lebesgue outer measure)

对于任意集合 $A \subset \mathbb{R}$ 的勒贝格外测度（Lebesgue outer measure）定义为：

$$m^{*}(A) = \inf Z_{A}, \quad \mbox{where } Z_{A} = \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\}$$

同时我们称区间序列 $\left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$ 覆盖（cover）了集合 $A$。

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Theorem 7.1

对于集合 $A \subset \mathbb{R}$，当且仅当 $m^{*}(A) = 0$，$A$ 为一个零测集。

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Proof. (Theorem 7.1)

$\Longrightarrow$ 设 $A \subset \mathbb{R}$ 且 $m^{*}(A) = 0$。由定义：

$$m^{*}(A) = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ 为区间, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\} = 0$$

Mapping:

$$f: ~ \left\{ \{ I_{n} \}^{\infty}_{n=1}: ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\} \longrightarrow \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\}$$

为一个 surjection（满射）。即对于：

$$\forall \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}), ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } A \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n}: ~ \exists \left\{ I^{'}_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}, I^{'}_{n} \mbox{ are intervals, } A \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I^{'}_{n}: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) = \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I^{'}_{n})$$

（意思就是，对于每一个这种区间长度和，总能找到一个满足相同条件的区间序列，最差的情况也可以是自己。）

所以可以应用 infimum 的定义：

1. for $~ \forall \left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}, ~ I_{n} \mbox{ are intervals}, ~ A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}) \geq 0$

2. for $~ \forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I^{'}_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}, ~ I^{'}_{n} \mbox{ are intervals}, ~ A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I^{'}_{n}: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I^{'}_{n}) < \varepsilon$

其中 2. 恰好满足了零测集的定义。

$\Longleftarrow$ 设 $A \subset \mathbb{R}$ 且 $A$ 为零测集，由定义：

$$\mbox{for } ~ \forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}, ~ I_{n} \mbox{ 为区间}: ~ A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}, ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) < \varepsilon$$

并且：$\sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n})$ 为长度和，必有：$\sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) \geq 0$，所以：

$$m^{*}(A) = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals}, ~ A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\} = 0$$

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Theorem 7.2

如果 $A \subset B$，那么 $m^{*}(A) \leq m^{*}(B)$。

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Lemma.

若 $A\subset B$，则 $\inf A \geq \inf B$。

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Proof. (Lemma)

由下确界定义：

$$\forall b \in B: ~ b \geq \inf B$$

又：$A \subset B$，则有：

$$\forall a \in A: ~ a \in B$$

所以：

$$\forall a \in A: ~ a \geq \inf B$$

由下确界定义：

$$\forall \varepsilon > 0: ~ \exists a_{0} \in A: ~ a_{0} < \inf A + \varepsilon$$

假设 $\inf A < \inf B$，令 $\varepsilon = \inf B - \inf A > 0$，则：

$$\exists a_{0} \in A: ~ a_{0} < \inf A + \inf B - \inf A = \inf B$$

这与： $\forall a \in A: ~ a \geq \inf B$ 矛盾，故 $\inf A \geq \inf B$。

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Proof. (Theorem 7.2)

设：

$$\begin{align*} & \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ 为区间}, ~ A \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\} = m^{*}(A) = a\\ & \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(J_{n}): ~ J_{n} \mbox{ 为区间}, ~ B \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} J_{n} \right\} = m^{*}(B) = b\\ \end{align*}$$

由于 $A \subset B$，则：$A \subset B \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}J_{n}$，$\left\{ J_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$ 为以上定义的区间序列。所以包含 $B$ 的这样的区间序列 $\left\{ J_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$ 也一定包含 $A$。

（即：$\left\{ J_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$ 一定是 $\left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$，但$\left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$ 不一定是 $\left\{ J_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$）

所以：

$$\left\{\left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}: ~ I_{n} \mbox{ 为区间}, ~ A \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\} \supset \left\{\left\{ J_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}: ~ J_{n} \mbox{ 为区间}, ~ B \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} J_{n} \right\}$$

由 Theorem 7.1 的证明中构造的映射，有：

$$\left\{\sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ 为区间}, ~ A \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\} \supset \left\{\sum\limits^{\infty}_{n=1}l(J_{n}): ~ J_{n} \mbox{ 为区间}, ~ B \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} J_{n} \right\}$$

which implies:

$$\implies \inf Z_{A} \leq \inf Z_{B} \quad \implies a \leq b \\ \mbox{(By the conclusion of previous lemma)}$$

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Theorem 7.3

如果 $I$ 是一个区间，那么 $m^{*}(I) = l(I)$。

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Proof. (Theorem 7.3)

首先，我们知道：

$$m^{*}(I) = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\}$$

对于 $\forall \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}), ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n}$：

由于 $I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}$，则 $l(I) \leq \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n})$，故：

$$\forall \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}) \in \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\}: ~ l(I) \leq \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n})$$

由于 $I$ 为区间，且 $I \subset I$，则：

$$l(I) \in \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\}$$

则：

$$\mbox{for: } \forall \varepsilon > 0: ~ \exists l(I) \in \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\}: ~ l(I) < l(I) + \varepsilon$$

所以：

$$m^{*}(I) = \inf \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\} = l(I)$$

• 注：这里运用到一条显然的等价条件，即：
  $$\mbox{If } ~ \forall a \in A: ~ a_{0} \leq a \; \mbox{ and } \; a_{0} \in A \quad \iff \quad \inf A = \min A = a_{0}$$

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Theorem 7.4 (Countable subadditivity - 次可加性)

$$m^{*}\big( \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \big) \leq \sum\limits^{\infty}_{n=1} m^{*}(E_{n})$$

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Proof. (Theorem 7.4)

由定义：

$$m^{*}(\bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n}) = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{t=1} l(J_{t}): ~ J_{t} \mbox{ 为区间, } \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1}J_{t} \right\}$$

For $\forall E_{n}$，有：$m^{*}(E_{n}) = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{s=1}l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}$

若对于 $\forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s}$，其中$I_{s}^{n}$ 为区间，则对于 $\forall x \in \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n}: ~ \exists n_{0} \in \mathbb{N}^{+}: x \in E_{n_{0}}$，则 $x \in \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n_{0}}_{s}$。

又：$\bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n_{0}}_{s} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s}$，则：

$$\forall x \in \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n}: ~ x \in \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \quad \iff \quad \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s}$$

因此，若对于 $\forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}$，则有：$\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s}$

设两集合：

$$\begin{align*} A & = \left\{ \left\{ J_{t} \right\}^{\infty}_{t=1}: ~ J_{t} \mbox{ 为区间, } \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} J_{t} \right\} \\ B & = \left\{ \left\{ I^{n}_{s} \right\}^{\infty, \infty}_{n=1, s=1}: ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s} \right\} \\ & = \left\{ \left\{ I^{n}_{s} \right\}^{\infty, \infty}_{n=1, s=1}: ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}, ~ \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\} \end{align*}$$

可以发现，若视 $B$ 中的 $\left\{ I^{n}_{s} \right\}^{\infty, \infty}_{n=1, s=1}$ 为一个新的区间序列，且该区间序列的可数并包含了 $\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n}$，这符合 $A$ 的定义，所以：

$$B \subset A$$

由 (i) 中所述的满射方式，存在以下满射 $f$ ：

$$A = \left\{ \left\{ J_{t} \right\}^{\infty}_{t=1}: ~ J_{t} \mbox{ 为区间, } \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} J_{t} \right\} \longrightarrow \left\{ \sum\limits^{\infty}_{t=1}l(J_{t}): ~ J_{t} \mbox{ 为区间, } \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} J_{t} \right\} = C$$

而：

$$\begin{align*} f(B) & = f\left(\left\{ \left\{ I^{n}_{s} \right\}^{\infty, \infty}_{n=1, s=1}: ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}, ~ \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}\right)\\ & = \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}, ~ \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}\\ & = D \end{align*}$$

由 $B \subset A$，则 $D \subset C$，则：

$$\inf D \geq \inf C \\ \iff \\ \inf \left\{ \sum\limits^{\infty}_{t=1}l(J_{t}): ~ J_{t} \mbox{ 为区间, } \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} J_{t} \right\} \leq \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}, ~ \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}$$

又：$\left\{ I^{n}_{s} \right\}^{\infty}_{s=1}$ 的选择至于条件 “$E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s}$” 有关（对于每个 $n \in \mathbb{N}^{+}$）， 则与 $n$ 无关，则：

$$\inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}, ~ \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\} = \sum\limits^{\infty}_{n=1} \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}$$

• 其实这里有种更简单的证明，即直接证明以上两边相等。设：

  $$\begin{align*} D & = \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}, ~ \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}\\ D_{n} & = \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\} \end{align*}$$

  则 $\inf{D}$ 满足：

  ① $\sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \in D: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \geq \inf{D}$

  ② $\forall \varepsilon: ~ \exists \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \in D: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) < \inf{D} + \varepsilon$

  则：

  ①

  $$\begin{align*} & \forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ \forall \sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \in D_{n}: ~ \sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \geq \inf{D_{n}}\\ \implies & \\ &\forall \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \in D: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \geq \sum^{\infty}_{n=1} \inf{D_{n}} \end{align*}$$

  ②

  $$\begin{align*} & \forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ \forall \varepsilon_{n} = \frac{\varepsilon}{2^{n}} > 0: ~ \exists \sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \in D_{n}: ~ \exists \sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) < \inf{D_{n}} + \varepsilon_{n} \\ \implies & \\ & \forall \sum\limits^{\infty}_{n=1} \varepsilon_{n} = \varepsilon > 0: ~ \exists \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \in D: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) < \sum\limits^{\infty}_{n=1} \inf{D_{n}} + \varepsilon \end{align*}$$

所以：

$$\inf{D} = \sum\limits^{\infty}_{n=1} \inf{D_{n}}$$

所以：

$$\inf{\left\{ \sum\limits^{\infty}_{t=1}l(J_{t}): ~ J_{t} \mbox{ 为区间, } \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} J_{t} \right\}} \leq \sum\limits^{\infty}_{n=1}\inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}\\ \iff\\ m^{*}\big( \bigcup^{\infty}_{n=1} E_{n} \big) \leq \sum\limits^{\infty}_{n=1}m^{*}(E_{n})$$

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Theorem 7.5 (Translation invariant - 平移不变性)

对于 $\forall A \subset \mathbb{R}: ~ \forall t \in \mathbb{R}: ~ m^{*}(A) = m^{*}(A + t)$，其中 $A + t = \left\{ a + t: ~ \forall a \in A \right\}$

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Proof. (Theorem 7.5)

对于 $\forall A \subset \mathbb{R}: ~ \forall t \in \mathbb{R}$，令：

$$\begin{align*} m^{*}(A) & = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ 为区间, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\}\\ m^{*}(A + t) & = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}^{'}: ~ I_{n}^{'} \mbox{ 为区间, } A + t \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I^{'}_{n} \right\} \end{align*}$$

由满射确定 $m^{*}(A)$ 的原象：

$$N = \left\{ \left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}: ~ I_{n} \mbox{ 为区间, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\}$$

令：

$$N^{'} = \left\{ \left\{ I^{'}_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}: ~ \left\{ I^{'}_{n} \right\}^{\infty}_{n=1} = \left\{ I_{n} + t \right\}^{\infty}_{n=1} \mbox{ for } \forall \left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1} \in N \right\}$$

由于 $I_{n} + t = \left\{ i_{n} + t: ~ i_{n} \in I_{n} \right\}$ ，$I_{n}$ 为区间，则 $I^{'}_{n} = I_{n} + t$ 也为区间。

令 $I_{n}$ 的左端点为 $a_{n}, b_{n}$，则 $I^{'}_{n}$ 的左右端点为 $a_{n} + t, b_{n} + t$，则：

$$\sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) = \sum\limits^{\infty}_{n=1} (b_{n} - a_{n}) = \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I^{'}_{n}) = \sum\limits^{\infty}_{n=1} (b^{'}_{n} - a^{'}_{n}) = \sum\limits^{\infty}_{n=1}\big( (b_{n} + t) - (a_{n} + t) \big)$$

并且，如果 $A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n}$，则

$$\forall a \in A: ~ a \in \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} ~ \implies ~ \forall a \in A: ~ \exists n_{0} \in \mathbb{N}^{+}: ~ a \in I_{n_{0}}\\ \implies ~ \forall a \in A: ~ \exists n_{0} \in \mathbb{N}^{+}: ~ a + t \in I^{'}_{n_{0}} ~ \implies ~ \forall a \in A: ~ a + t \in \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I^{'}_{n}$$

又因为：

$$a \in A \quad \iff \quad a + t \in A + t$$

则：

$$\forall a + t \in A + t: ~ a + t \in \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I^{'}_{n} \quad \implies \quad A + t \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I^{'}_{n}$$

反之可证：若 $A + t \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I^{'}_{n}$，则 $A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}$， 则：

$$\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ 为区间, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\} = \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I^{'}_{n}): ~ I^{'}_{n} \mbox{ 为区间, } A + t \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I^{'}_{n} \right\}$$

所以二者下确界也相等，所以：

$$\forall A \subset \mathbb{R}: ~ \forall t \in \mathbb{R}: ~ m^{*}(A) = m^{*}(A + t)$$