Definition. (Lebesgue outer measure)
对于任意集合 \(A \subset \mathbb{R}\) 的勒贝格外测度（Lebesgue outer measure）定义为：
\[m^{*}(A) = \inf Z_{A}, \quad \mbox{where } Z_{A} = \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\}
\]
同时我们称区间序列 \(\left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\) 覆盖（cover）了集合 \(A\)。
Theorem 7.1
对于集合 \(A \subset \mathbb{R}\)，当且仅当 \(m^{*}(A) = 0\)，\(A\) 为一个零测集。
Proof. (Theorem 7.1)
\(\Longrightarrow\) 设 \(A \subset \mathbb{R}\) 且 \(m^{*}(A) = 0\)。由定义：
\[m^{*}(A) = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ 为区间, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\} = 0
\]
Mapping:
\[f: ~ \left\{ \{ I_{n} \}^{\infty}_{n=1}: ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\} \longrightarrow \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\}
\]
为一个 surjection（满射）。即对于：
\[\forall \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}), ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } A \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n}: ~ \exists \left\{ I^{'}_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}, I^{'}_{n} \mbox{ are intervals, } A \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I^{'}_{n}: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) = \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I^{'}_{n})
\]
（意思就是，对于每一个这种区间长度和，总能找到一个满足相同条件的区间序列，最差的情况也可以是自己。）
所以可以应用 infimum 的定义：
-
for \(~ \forall \left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}, ~ I_{n} \mbox{ are intervals}, ~ A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}) \geq 0\)
-
for \(~ \forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I^{'}_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}, ~ I^{'}_{n} \mbox{ are intervals}, ~ A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I^{'}_{n}: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I^{'}_{n}) < \varepsilon\)
其中 2. 恰好满足了零测集的定义。
\[\]
\[\]
\(\Longleftarrow\) 设 \(A \subset \mathbb{R}\) 且 \(A\) 为零测集，由定义：
\[\mbox{for } ~ \forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}, ~ I_{n} \mbox{ 为区间}: ~ A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}, ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) < \varepsilon
\]
并且：\(\sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n})\) 为长度和，必有：\(\sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) \geq 0\)，所以：
\[m^{*}(A) = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals}, ~ A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\} = 0
\]
Theorem 7.2
如果 \(A \subset B\)，那么 \(m^{*}(A) \leq m^{*}(B)\)。
Lemma.
若 \(A\subset B\)，则 \(\inf A \geq \inf B\)。
Proof. (Lemma)
由下确界定义：
\[\forall b \in B: ~ b \geq \inf B
\]
又：\(A \subset B\)，则有：
\[\forall a \in A: ~ a \in B
\]
所以：
\[\forall a \in A: ~ a \geq \inf B
\]
由下确界定义：
\[\forall \varepsilon > 0: ~ \exists a_{0} \in A: ~ a_{0} < \inf A + \varepsilon
\]
假设 \(\inf A < \inf B\)，令 \(\varepsilon = \inf B - \inf A > 0\)，则：
\[\exists a_{0} \in A: ~ a_{0} < \inf A + \inf B - \inf A = \inf B
\]
这与： \(\forall a \in A: ~ a \geq \inf B\) 矛盾，故 \(\inf A \geq \inf B\)。
Proof. (Theorem 7.2)
设：
\[\begin{align*}
& \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ 为区间}, ~ A \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\} = m^{*}(A) = a\\
& \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(J_{n}): ~ J_{n} \mbox{ 为区间}, ~ B \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} J_{n} \right\} = m^{*}(B) = b\\
\end{align*}
\]
由于 \(A \subset B\)，则：\(A \subset B \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}J_{n}\)，\(\left\{ J_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\) 为以上定义的区间序列。所以包含 \(B\) 的这样的区间序列 \(\left\{ J_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\) 也一定包含 \(A\)。
（即：\(\left\{ J_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\) 一定是 \(\left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\)，但\(\left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\) 不一定是 \(\left\{ J_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\)）
所以：
\[\left\{\left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}: ~ I_{n} \mbox{ 为区间}, ~ A \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\} \supset \left\{\left\{ J_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}: ~ J_{n} \mbox{ 为区间}, ~ B \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} J_{n} \right\}
\]
由 Theorem 7.1 的证明中构造的映射，有：
\[\left\{\sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ 为区间}, ~ A \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\} \supset \left\{\sum\limits^{\infty}_{n=1}l(J_{n}): ~ J_{n} \mbox{ 为区间}, ~ B \subset\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} J_{n} \right\}
\]
which implies:
\[\implies \inf Z_{A} \leq \inf Z_{B} \quad \implies a \leq b \\
\mbox{(By the conclusion of previous lemma)}
\]
Theorem 7.3
如果 \(I\) 是一个区间，那么 \(m^{*}(I) = l(I)\)。
Proof. (Theorem 7.3)
首先，我们知道：
\[m^{*}(I) = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\}
\]
对于 \(\forall \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}), ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n}\)：
由于 \(I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}\)，则 \(l(I) \leq \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n})\)，故：
\[\forall \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}) \in \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\}: ~ l(I) \leq \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n})
\]
由于 \(I\) 为区间，且 \(I \subset I\)，则：
\[l(I) \in \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\}
\]
则：
\[\mbox{for: } \forall \varepsilon > 0: ~ \exists l(I) \in \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\}: ~ l(I) < l(I) + \varepsilon
\]
所以：
\[m^{*}(I) = \inf \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ are intervals, } I \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n} \right\} = l(I)
\]
Theorem 7.4 (Countable subadditivity - 次可加性)
\[m^{*}\big( \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \big) \leq \sum\limits^{\infty}_{n=1} m^{*}(E_{n})
\]
Proof. (Theorem 7.4)
由定义：
\[m^{*}(\bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n}) = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{t=1} l(J_{t}): ~ J_{t} \mbox{ 为区间, } \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1}J_{t} \right\}
\]
For \(\forall E_{n}\)，有：\(m^{*}(E_{n}) = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{s=1}l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}\)
若对于 \(\forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s}\)，其中\(I_{s}^{n}\) 为区间，则对于 \(\forall x \in \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n}: ~ \exists n_{0} \in \mathbb{N}^{+}: x \in E_{n_{0}}\)，则 \(x \in \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n_{0}}_{s}\)。
又：\(\bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n_{0}}_{s} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s}\)，则：
\[\forall x \in \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n}: ~ x \in \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \quad \iff \quad \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s}
\]
因此，若对于 \(\forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}\)，则有：\(\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s}\)
设两集合：
\[\begin{align*}
A & = \left\{ \left\{ J_{t} \right\}^{\infty}_{t=1}: ~ J_{t} \mbox{ 为区间, } \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} J_{t} \right\} \\
B & = \left\{ \left\{ I^{n}_{s} \right\}^{\infty, \infty}_{n=1, s=1}: ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s} \right\} \\
& = \left\{ \left\{ I^{n}_{s} \right\}^{\infty, \infty}_{n=1, s=1}: ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}, ~ \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}
\end{align*}
\]
可以发现，若视 \(B\) 中的 \(\left\{ I^{n}_{s} \right\}^{\infty, \infty}_{n=1, s=1}\) 为一个新的区间序列，且该区间序列的可数并包含了 \(\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n}\)，这符合 \(A\) 的定义，所以：
\[B \subset A
\]
由 (i) 中所述的满射方式，存在以下满射 \(f\) ：
\[A = \left\{ \left\{ J_{t} \right\}^{\infty}_{t=1}: ~ J_{t} \mbox{ 为区间, } \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} J_{t} \right\} \longrightarrow \left\{ \sum\limits^{\infty}_{t=1}l(J_{t}): ~ J_{t} \mbox{ 为区间, } \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} J_{t} \right\} = C
\]
而：
\[\begin{align*}
f(B) & = f\left(\left\{ \left\{ I^{n}_{s} \right\}^{\infty, \infty}_{n=1, s=1}: ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}, ~ \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}\right)\\
& = \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}, ~ \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}\\
& = D
\end{align*}
\]
由 \(B \subset A\)，则 \(D \subset C\)，则：
\[\inf D \geq \inf C \\
\iff \\
\inf \left\{ \sum\limits^{\infty}_{t=1}l(J_{t}): ~ J_{t} \mbox{ 为区间, } \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} J_{t} \right\} \leq \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}, ~ \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}
\]
又：\(\left\{ I^{n}_{s} \right\}^{\infty}_{s=1}\) 的选择至于条件 “\(E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s}\)” 有关（对于每个 \(n \in \mathbb{N}^{+}\)）， 则与 \(n\) 无关，则：
\[\inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}, ~ \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\} = \sum\limits^{\infty}_{n=1} \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}
\]
-
其实这里有种更简单的证明，即直接证明以上两边相等。设：
\[\begin{align*}
D & = \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1}I^{n}_{s}, ~ \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}\bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}\\
D_{n} & = \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}
\end{align*}
\]
则 \(\inf{D}\) 满足：
① \(\sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \in D: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \geq \inf{D}\)
② \(\forall \varepsilon: ~ \exists \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \in D: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) < \inf{D} + \varepsilon\)
则：
①
\[\begin{align*}
& \forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ \forall \sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \in D_{n}: ~ \sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \geq \inf{D_{n}}\\
\implies & \\
&\forall \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \in D: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \geq \sum^{\infty}_{n=1} \inf{D_{n}}
\end{align*}
\]
②
\[\begin{align*}
& \forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ \forall \varepsilon_{n} = \frac{\varepsilon}{2^{n}} > 0: ~ \exists \sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \in D_{n}: ~ \exists \sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) < \inf{D_{n}} + \varepsilon_{n} \\
\implies & \\
& \forall \sum\limits^{\infty}_{n=1} \varepsilon_{n} = \varepsilon > 0: ~ \exists \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) \in D: ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1}\sum\limits^{\infty}_{s=1} l(I^{n}_{s}) < \sum\limits^{\infty}_{n=1} \inf{D_{n}} + \varepsilon
\end{align*}
\]
所以：
\[\inf{D} = \sum\limits^{\infty}_{n=1} \inf{D_{n}}
\]
所以：
\[\inf{\left\{ \sum\limits^{\infty}_{t=1}l(J_{t}): ~ J_{t} \mbox{ 为区间, } \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} J_{t} \right\}} \leq \sum\limits^{\infty}_{n=1}\inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I^{n}_{s}): ~ I^{n}_{s} \mbox{ 为区间, } E_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{s=1} I^{n}_{s} \right\}\\
\iff\\
m^{*}\big( \bigcup^{\infty}_{n=1} E_{n} \big) \leq \sum\limits^{\infty}_{n=1}m^{*}(E_{n})
\]
Theorem 7.5 (Translation invariant - 平移不变性)
对于 \(\forall A \subset \mathbb{R}: ~ \forall t \in \mathbb{R}: ~ m^{*}(A) = m^{*}(A + t)\)，其中 \(A + t = \left\{ a + t: ~ \forall a \in A \right\}\)
Proof. (Theorem 7.5)
对于 \(\forall A \subset \mathbb{R}: ~ \forall t \in \mathbb{R}\)，令：
\[\begin{align*}
m^{*}(A) & = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ 为区间, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\}\\
m^{*}(A + t) & = \inf\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}^{'}: ~ I_{n}^{'} \mbox{ 为区间, } A + t \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I^{'}_{n} \right\}
\end{align*}
\]
由满射确定 \(m^{*}(A)\) 的原象：
\[N = \left\{ \left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}: ~ I_{n} \mbox{ 为区间, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\}
\]
令：
\[N^{'} = \left\{ \left\{ I^{'}_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}: ~ \left\{ I^{'}_{n} \right\}^{\infty}_{n=1} = \left\{ I_{n} + t \right\}^{\infty}_{n=1} \mbox{ for } \forall \left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1} \in N \right\}
\]
由于 \(I_{n} + t = \left\{ i_{n} + t: ~ i_{n} \in I_{n} \right\}\) ，\(I_{n}\) 为区间，则 \(I^{'}_{n} = I_{n} + t\) 也为区间。
令 \(I_{n}\) 的左端点为 \(a_{n}, b_{n}\)，则 \(I^{'}_{n}\) 的左右端点为 \(a_{n} + t, b_{n} + t\)，则：
\[\sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) = \sum\limits^{\infty}_{n=1} (b_{n} - a_{n}) = \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I^{'}_{n}) = \sum\limits^{\infty}_{n=1} (b^{'}_{n} - a^{'}_{n}) = \sum\limits^{\infty}_{n=1}\big( (b_{n} + t) - (a_{n} + t) \big)
\]
并且，如果 \(A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n}\)，则
\[\forall a \in A: ~ a \in \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} ~ \implies ~ \forall a \in A: ~ \exists n_{0} \in \mathbb{N}^{+}: ~ a \in I_{n_{0}}\\
\implies ~ \forall a \in A: ~ \exists n_{0} \in \mathbb{N}^{+}: ~ a + t \in I^{'}_{n_{0}} ~ \implies ~ \forall a \in A: ~ a + t \in \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I^{'}_{n}
\]
又因为：
\[a \in A \quad \iff \quad a + t \in A + t
\]
则：
\[\forall a + t \in A + t: ~ a + t \in \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I^{'}_{n} \quad \implies \quad A + t \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I^{'}_{n}
\]
反之可证：若 \(A + t \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I^{'}_{n}\)，则 \(A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}\)， 则：
\[\left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}): ~ I_{n} \mbox{ 为区间, } A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n} \right\} = \left\{ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I^{'}_{n}): ~ I^{'}_{n} \mbox{ 为区间, } A + t \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I^{'}_{n} \right\}
\]
所以二者下确界也相等，所以：
\[\forall A \subset \mathbb{R}: ~ \forall t \in \mathbb{R}: ~ m^{*}(A) = m^{*}(A + t)
\]
