测度论：Measure Theory (6)

Definition. (Measure of bounded intervals)

假设 $I$ 为一个任意形式的有界区间，即 $(a, ~ b)$ 或 $[a, ~ b)$ 或 $(a, ~ b]$ 或 $[a, ~ b]$，其中 $a, ~ b \in \mathbb{R}, ~ a \leq b$，它的测度（Measure）定义为其区间长度 $l(I) = b - a$。特殊地，如果 $a = b$，即该区间为单点集 $\left\{ a \right\}$ 或 $\left\{ b \right\}$，单点集为测度为零的区间。

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Definition. (Null Sets)

一个零测集(Null set) $A \subset \mathbb{R}$ 定义为一个可以被一个由足够小的区间构成的序列覆盖的集合，即：

$$\forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{n}: n \in \mathbb{N}^{+}, \; I_{n} \mbox{ are intervals} \right\}: A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}, \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) < \varepsilon$$

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Theorem 6.1

$\mathbb{R}$ 上的任意单点集合的测度都为0。

证明很显然，就不分段给出了。对于任意单点集合 $\left\{ a \right\}, a \in \mathbb{R}$，设区间序列 $I_{1} = [a, a], ~ I_{2} = [a, a], \ldots$，那么对于任意的 $\varepsilon > 0$，自然有 $\left\{ a \right\} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}$, 且 $\sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) = 0 < \varepsilon$。

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Theorem 6.2

若 $\left( N_{n} \right)_{n\in\mathbb{N}}$ 为零测集序列，那么它们的并集 $N = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} N_{n}$ 也为零测集。

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Proof. (Theorem 6.2)

注意：此证明按照思考的逻辑书写，之后的构造不再花费篇幅介绍思路

对于 $\forall n \in \mathbb{N}^{+}: N_{n}$ 为零测集，由定义：

$$\forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ \forall \varepsilon_{n} > 0: ~ \exists \left\{ I_{t}^{n} \right\}^{\infty}_{t=1}: ~ N_{n} \subset \bigcup^{\infty}_{t=1} I_{t}^{n}, ~ \sum\limits^{\infty}_{t=1} l(I_{t}^{n}) < \varepsilon_{n}$$

同理，欲证 $N = \bigcup^{\infty}_{n=1} N_{n}$ 为零测集，须证：

$$\forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{m} \right\}^{\infty}_{m=1}: ~ N = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} N_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{m}, ~ \sum\limits^{\infty}_{m=1} l(I_{m}) < \varepsilon$$

以上任意的 $I_{t}^{n}$ 和任意的 $I_{m}$ 都为有界区间。

现在，对于 $\forall n \in \mathbb{N}^{+}, ~ \forall t \in \mathbb{N}^{+}$，重新排列 $I_{t}^{n}$：令：

$$\left\{ I_{m} \right\}^{\infty}_{m=1} = \left\{ I_{t}^{n} \right\}_{t \in \mathbb{N}^{+}, ~ n \in \mathbb{N}^{+}}$$

$\left\{ I_{m} \right\}^{\infty}_{m=1}$ 中每一项 $I_{m}$ 都为原先的有界区间 $I_{t}^{n}$，那么欲证的定义变为：

$$\forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{m} \right\}^{\infty}_{m=1} = \left\{ I_{t}^{n} \right\}_{n, ~ t \in \mathbb{N}^{+}}: ~ N = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} N_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{m=1} I_{m} = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} I_{t}^{n}, ~ \sum\limits^{\infty}_{m=1} l(I_{m}) = \sum\limits^{\infty}_{n=1} \sum\limits^{\infty}_{t=1} l(I_{t}^{n}) < \varepsilon$$

由于 $N_{n}$ 为零测集 for $\forall n \in \mathbb{N}^{+}$，由上述定义：

$$\forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ N_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} I_{t}^{n}$$

则必有：

$$\bigcup\limits^{\infty}_{n=1} N_{n} = N \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} \bigcup\limits^{\infty}_{t=1} I_{t}^{n}$$

对于任意的 $\varepsilon > 0$ 和任意的 $n \in \mathbb{N}^{+}$，令 $\varepsilon_{n} = \frac{\varepsilon}{2^{n}}$，则对于：

$$\forall n \in \mathbb{N}^{+}: ~ \sum\limits^{\infty}_{t=1} l(I_{t}^{n}) < \frac{\varepsilon}{2^{n}} = \varepsilon_{n}$$

由此可见：

$$\sum\limits^{\infty}_{n=1} \sum\limits^{\infty}_{t=1} l(I_{t}^{n}) < \sum\limits^{\infty}_{n=1} \frac{\varepsilon}{2^{n}} = \frac{\varepsilon}{2^{1}} + \frac{\varepsilon}{2^{2}} + \frac{\varepsilon}{2^{3}} + \cdots = \lim\limits_{k \rightarrow \infty} \frac{\frac{\varepsilon}{2}\left( 1 - (\frac{1}{2})^{k} \right)}{1 - \frac{1}{2}} = \varepsilon$$

所以我们可以根据由 $\left\{ N_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$ 中的每个零测集 $N_{n}$ 确定的有界区间序列 $\left\{ I_{t}^{n} \right\}^{\infty}_{t=1}$，来确定用以证明 $N = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} N_{n}$ 为零测集的有界区间序列 $\left\{ I_{m} \right\}^{\infty}_{m=1}$。

故：

$$\forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{m} \right\}^{\infty}_{m=1}: N = \bigcup^{\infty}_{n=1} N_{n} \subset \bigcup\limits^{\infty}_{m=1} I_{m}, ~ \sum\limits^{\infty}_{m=1} l(I_{m}) < \varepsilon$$

说明 $N = \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} N_{n}$ 为零测集。

Corollary 6.3

任意可数集都是零测集。

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Proof. (Corollary 6.3)

$A = \left\{ a_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$ 为可数集，$a_{n} \in \mathbb{R}$，则对于 $\forall n \in \mathbb{N}$，$\left\{ a_{n} \right\}$ 为 null set，则 $A\left\{ a_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$ 也为 null set。

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Example. Uncountable sets can be null: Cantor set.

Cantor set 的构造：

1. 从区间 $[0, 1]$ 开始，移除 “中间 $\frac{1}{3}$ 段” （即区间$(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$），得到集合:

$$C_{1} = [0, \frac{1}{3}] \cup [\frac{2}{3}， 1]$$

且：

$$l(C_{1}) = \frac{2}{3}$$

2. 接下来，移除 $C_{1}$ 两个部分的 “中间 $\frac{1}{3}$ 段”， 得到集合：

$$C_{2} = [0, \frac{1}{9}] \cup [\frac{2}{9}, \frac{3}{9}] \cup [\frac{6}{9}, \frac{7}{9}] \cup [\frac{8}{9}, 1]$$

且：

$$l(C_{2}) = \frac{4}{9} = \left( \frac{2}{3} \right)^{2}$$

3. 相似地依次得到 $C_{n}$。$C_{n}$ 为互不相交的区间的有限并集，并且 $l(C_{n})$ 为这些区间的总长度。可以发现，$C_{n}$ 由 $2^{n}$ 个互不相交的闭区间构成，$l(C_{n}) = \left( \frac{2}{3} \right)^{n}$。

Cantor set：$C = \bigcap\limits^{\infty}_{n=1}C_{n}$ 为一个不可数集，可以用转换三进制的方法证明。

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Corollary 6.4

任何零测集的子集都是零测集。

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Proof. (Corollary 6.4)

设 $A$ 是一个 null set。由定义：

$$\forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}: ~ A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1}I_{n}, ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1}l(I_{n}) < \varepsilon$$

则对于 $\forall B \subset A$，有：

$$\forall \varepsilon > 0: ~ \exists \left\{ I_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}: ~ B \subset A \subset \bigcup\limits^{\infty}_{n=1} I_{n}, ~ \sum\limits^{\infty}_{n=1} l(I_{n}) < \varepsilon$$

因此任意 null set 的子集也为 null set。