测度论：Measure Theory (4)

首先我们先定义 $\mathbb{R}$ 上的开区间：

An open interval in $\mathbb{R}$ is any set of the form:

$$\left\{ x \in \mathbb{R}: ~ a < x < b \right\},\quad\mbox{where } a, b \in \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty, +\infty \right\}.$$

Definition. (Open sets in $\mathbb{R}$)

对于实数集 $\mathbb{R}$ 的一个子集 $O$，若它可以被表示为一些开区间的并集，即 $O = \cup_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}$，则称 $O$ 在 $\mathbb{R}$ 上是开的。

等价地，如果 $O$ 可以被表示为可数不相交的开区间的并集，那么 $O$ 是一个开集。

注意，“$\mathbb{R}$ 上的开集能被写作可数个不相交的开区间的并”是在 $\mathbb{R}$ 上的特有性质，而 $\mathbb{R}^{n \in \mathbb{N}^{+}}$ 中广义开集的定义不需要可数。

显然地，任意两个开集的并集也是开集。证明很显然：假设有两个开集 $A, B \subset \mathbb{R}$，根据定义，它们能分别被写成一些开区间的并集，例如：

$$A = \bigcup\limits_{n \in \Lambda_{1}}~ J_{n}\qquad \qquad B = \bigcup\limits_{n \in \Lambda_{2}} ~ K_{n}$$

那么：

$$A \cup B = \left( \bigcup\limits_{n \in \Lambda_{1}}~ J_{n} \right) \cup \left( \bigcup\limits_{n \in \Lambda_{2}} ~ K_{n} \right) = \bigcup\limits_{m \in \Lambda} ~ K_{n}$$

其中 $\Lambda = \Lambda_{1}\cup\Lambda_{2}$，说白了就是把两个由开区间构成的集合并在一起，结果还是一个由开区间构成的集合，则符合定义。

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Corollary 4.1 (开集的等价定义)

对于子集 $O \subset \mathbb{R}$，若有：

$$\forall x \in O: ~ \exists \varepsilon > 0: ~ \forall y \in \left( x - \varepsilon, ~ x + \varepsilon \right): ~ y \in O$$

则 $O$ 为 $\mathbb{R}$ 上的开集。

（这意味着：every point in $O$ is internal。想象若 $O$ 在边界上某处不为开，当 $x$ 在此处取值时，则无论 $\varepsilon$ 如何取值，以 $x$ 为“圆心”，$\varepsilon$ 为“半径"的超球始终会包括外部的点，因此，开集的“集合边界”必须处处为开。）

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Proof. (Corollary 4.1)

$\Longrightarrow$：

假设集合 $O \subset \mathbb{R}$ 为开集，由开集的定义，$O$ 可以被表示为开区间的并：

$$O = \bigcup\limits_{n \in \Lambda} ~ I_{n}$$

假设有 $x \in O$，这意味着必定存在 $\alpha \in \mathbb{N}^{+}$，使得 $x \in I_{\alpha}$。设 $I_{\alpha} = (a, ~ b)$，其中 $a, ~ b \in \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty, +\infty \right\}$ （w.l.o.g. 假设 $a, ~ b \in \mathbb{R}$)，有 $a < x < b$。那么对于：

$$\forall x \in (a, ~ b): ~ \exists\varepsilon = \frac{min(b-x, ~ x-a)}{2} > 0: ~ \forall y \in \left(x - \varepsilon, ~ x + \varepsilon\right): ~ y \in (a, ~ b) \subset O$$

$\Longleftarrow$：
假设集合 $O \subset \mathbb{R}$ 满足：

$$\forall x \in O: ~ \exists \varepsilon > 0: ~ \forall y \in \left( x - \varepsilon, ~ x + \varepsilon \right): ~ y \in O$$

由以上条件，对于任意一点 $\alpha \in O$，对于相应的 $\epsilon = \epsilon_{\alpha} > 0$，令 $I_{\alpha} = \left( x-\epsilon_{\alpha}, ~ x+\epsilon_{\alpha} \right)$，则有 $\forall y \in I_{\alpha}: ~ y \in O$，等价于 $I_{a} \subset O$。

这说明对于 $O$ 中的任何一点 $\alpha$，我们都能构建一个开区间 $I_{\alpha} \subset O$ 且满足 $\alpha \in I_{\alpha}$，那么自然有：$O = \bigcup\limits_{\alpha \in O} I_{\alpha}$。

这是因为：

1. 对于 $\forall \alpha \in O: ~ \alpha \in I_{\alpha} \subset \bigcup\limits_{\alpha \in O} I_{\alpha} \implies O \subset \bigcup\limits_{\alpha \in O} I_{\alpha}$。

2. 对于 $\forall \alpha \in \bigcup\limits_{\alpha \in O} I_{\alpha}: ~ \alpha \in O \implies \bigcup\limits_{\alpha \in O} I_{\alpha} \subset O$
   （下标的定义方式，我都写这么清楚了初中生也能看懂吧...）

因此集合 $O$ 可以表示为 若干个开区间 $I_{\alpha}$ 的并（即使这个“若干个”既可以是可数个也可以是不可数个）。由定义，集合 $O \subset \mathbb{R}$ 为开集。

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Notes (Corollary 4.1)

在我看来，与其使用这个等价定义，不如用超球直接给出推广至度量空间 $\left( X, ~ d \right)$ 中开集的定义，如下。其中 $X$ 可以为 $\mathbb{R}^{n \in \mathbb{N}^{+}}$，$d$ 为 $X$ 中的一个度量（metric）或距离（distance）。（我可能以后会写具体涉及度量空间的文章）

$$\forall x \in O: ~ \exists \epsilon > 0: ~ \forall y \in B_{\epsilon}(x): ~ y \in O$$

或更直接地：

$$\forall x \in O: ~ \exists \epsilon > 0: ~ B_{\epsilon}(x) \subset O$$

补充：

$$\begin{align*} B_{\epsilon}(x) & := \left\{ p \in X: ~ d\left(p, ~ x\right) < \epsilon \right\}\\ \bar{B}_{\epsilon}(x) & := \left\{ p \in X: ~ d\left(p, ~ x\right) \leq \epsilon \right\} \end{align*}$$

（open or closed ball of radius $\epsilon$ centered at point $x \in X$ ）

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Definition. (Closed sets in $\mathbb{R}$)

一个集合被称作闭集，如果它的补集为开集。

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Definition. (Limiting Point：极限点)

如果对于 $\forall x \in \mathbb{R}$，若对于 $\forall \epsilon > 0$，都 $\exists y \in A$，使得 $y \in \left( x-\epsilon, ~ x+\epsilon \right)$，则称 $x$ 为 $A$ 的一个极限点（limiting point），即：

$$\begin{align*} & \forall x \in \mathbb{R}: ~ \forall \epsilon > 0: ~ \exists y \in A: y \in \left( x-\epsilon, ~ x+\epsilon \right)\\ \iff & \\ & \forall x \in \mathbb{R}: ~ \forall \epsilon > 0: ~ A \cap \left( x-\epsilon, ~ x+\epsilon \right) \neq \emptyset \end{align*}$$

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Corollary 4.2 (闭集的等价定义)

集合 $A \in \mathbb{R}$ 为闭集 $\iff$ 集合 $A \in \mathbb{R}$ 包含了 $A$ 所有的极限点。

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Notes (Corollary 4.2)

注意，极限点的定义方式 implies that，一个集合的极限点可能不在这个集合中。

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Proof. (Corollary 4.2)

$\Longrightarrow$：

若 $A \in \mathbb{R}$ 为闭集，则 $A^{c}$ 为开集。由定义，后者可以写作 $A^{c} = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}$，其中 $I_{\alpha}$ 皆为开区间。由于在讨论 $\mathbb{R}$ 上的情况，则 $\Lambda$ 可以是可数集，且对于 $\forall i, j \in \Lambda, ~ i \neq j: ~ I_{i} \cap I_{j} = \emptyset$。

假设存在 $A$ 的极限点 $x_{0}$ 且满足 $x_{0} \in A^{c}$，可知，存在确定且唯一的开区间 $I_{\alpha}$ 使 $x_{0} \in I_{\alpha} \subset A^{c}$。设 $I_{\alpha} = \left( a, ~ b \right)$，其中 $a, b \in \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty, +\infty \right\}$， 显然有 $a < x_{0} < b$。因为 $x_{0}$ 为极限点，由极限点的定义，则对于：

$$\forall \epsilon > 0: ~ A \cap \left( x_{0} - \epsilon, ~ x_{0} + \epsilon \right) \neq \emptyset$$

但如果令 $\epsilon_{0} = \min\left( x_{0} - a, ~ b - x_{0} \right) > 0$，此时：$\left( x_{0} - \epsilon_{0}, ~ x_{0} + \epsilon_{0} \right) \subset I_{\alpha}$，而 $A \cap I_{\alpha} = \emptyset$，所以产生矛盾。故不存在极限点 $x_{0} \in A$，使 $x_{0} \in A^{c}$，即：所有 $A$ 的极限点 $\in A$。

$\Longleftarrow$：
若集合 $A \in \mathbb{R}$ 包含了其所有的极限点，则 $A^{c}$ 中不含任何 $A$ 的极限点，i.e.,

$$\forall x \in A^{c}: ~ \exists \epsilon > 0: ~ A \cap \left( x-\epsilon, ~ x+\epsilon \right) = \emptyset$$

可以发现，开区间 $\left( x-\epsilon, ~ x+\epsilon \right)$ 为 $\mathbb{R}$ 上的一维开球：$B_{\epsilon}(x)$，则 $A \cap B_{\epsilon}(x) = \emptyset$，因此必有 $B_{\epsilon}(x) \subset A^{c}$，否则：

$$\exists a \in B_{\epsilon}(x) ~ \mbox{ s.t. } ~ a \in A ~ \implies ~ A \cap B_{\epsilon}(x) \neq \emptyset$$

则产生矛盾。所以，

$$\forall x \in A^{c}: ~ \exists \epsilon > 0: ~ B_{\epsilon}(x) \subset A^{c}$$

即 $A^{c}$ 中的所有点都为 internal point，这是 $A^{c}$ 为开集的等价定义（Corollay 4.1）。故：若 $A$ 包含其所有的极限点 $\implies$ $A$ 为闭集。

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Corollary 4.3

任意有限个开集的交集依旧为交集。

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Notes. (Corollary 4.3)

此处针对“任意有限个开集”的证明，实际等价于针对“任意两个开集”的证明，因为后者可以直接 by induction 推至前者。注意，这里也只能推至“有限交”的情况，而不能推至“可数交”的情况。数学归纳法仅仅是证明对于任意 $n \in \mathbb{N}$ 时的情况，不能推广至 infinity，因为一旦我们讨论 $n \in \mathbb{N}$ 的情况，$n$ 已经固定为一个有限的自然数。另一方面，在第一篇文章中我已经指出了所谓“看似能类比而实则不能的问题”，见：测度论：Measure Theory (1)

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Proof. (Corollary 4.3)

设 $A_{1}, A_{2}$ 为 $\mathbb{R}$ 上的两个开集，由定义可以分别写作：

$$A_{1} = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda_{1}} I_{\alpha}, \qquad A_{2} = \bigcup\limits_{\beta \in \Lambda_{2}} J_{\beta}$$

其中 $I_{\alpha}, J_{\beta}$ 为开区间，$\Lambda_{1}, \Lambda_{2}$ 为可数集，并且：

$$\forall m,n \in \Lambda_{1}, ~ m \neq n: ~ I_{m} \cap I_{n} = \emptyset \\ \forall m,n \in \Lambda_{2}, ~ m \neq n: ~ J_{m} \cap J_{n} = \emptyset \\ $$

那么：

$$A_{1} \cap A_{2} = \left( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda_{1}} I_{\alpha} \right) \cap A_{2} = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda_{1}} \left( I_{\alpha} \cap A_{2} \right) = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda_{1}} \left( I_{\alpha} \cap \Big( \bigcup\limits_{\beta \in \Lambda_{2}} J_{\beta} \Big) \right) = \bigcup\limits_{\alpha} \bigcup\limits_{\beta} \left( I_{\alpha} \cap J_{\beta} \right)$$

Without loss of generality，假设我们不知道两个开区间的交集依然为开区间的性质：

1. 若 $I_{\alpha} \subset J_{\beta} \implies I_{\alpha} \cap J_{\beta} = I_{\alpha}$ 为开集。

2. 若 $I_{\alpha} \cap J_{\beta} = \emptyset$，而空集也是开集（即一个开区间 $\left(a, ~ a \right), ~ \forall a \in \mathbb{R}$）。

3. 若 $I_{\alpha} \cap J_{\beta} = K$，其中 $K$ 为非空开区间。那么 $\left( I_{\alpha} \cap J_{\beta} \right)$ 为一个非空开区间，则在 $\Lambda_{1}, \Lambda_{2}$ 上做可数并运算后，由定义可知 $\bigcup\limits_{\alpha} \bigcup\limits_{\beta} \left( I_{\alpha} \cap J_{\beta} \right)$ 为一个开集。

综上所述，两个开集 $A_{1}, A_{2} \subset \mathbb{R}$ 的交集也为开集。

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Definition. (Borel $\sigma-$field)

在 $\mathbb{R}^{n}$ 中，包含所有开集的最小 $\sigma-$field 称作 Borel $\sigma-$field，通常记作 $\mathcal{B} = \mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$，Borel $\sigma-$field 中的集合称作 Borel sets（which are Borel-measurable）。

注意: 在 $\mathbb{R}$ 上的 Borel $\sigma-$field: $\mathcal{B} = \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 中不止包含开集，因为$\sigma-$field 对可数交运算封闭，而可数个开集的交集可以不为开集。例如：$\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}^{+}} \left( 0, ~ 1 + \frac{1}{n} \right) = (0, ~ 1]$。

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Definition. (Topology)

对于全集 $\Omega$ 上的一个集类 $\tau$，如果满足：

1. $\emptyset, ~ \Omega \in \tau$。
2. $\tau$ 对于任意（即可以为不可数）并运算封闭。
3. $\tau$ 对于有限交运算封闭。

则称集类 $\tau$ 为 $\Omega$ 上的一个拓扑（topology）。$\left( \Omega, \tau \right)$ 称作是一个拓扑空间（topological space）。

例如，$\mathbb{R}$ 上的空集定义了一个拓扑，因此它与 $\mathbb{R}$ 构成了一个拓扑空间。

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$\mathbb{R}^{n} ~ (n > 1)$ 空间中的空集，可以被定义为 $\mathbb{R}$ 上若干开区间的 $n$ 重笛卡尔积的并集。

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Definition. (Continuity)

对于实值函数 $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$，如果对于任意开集 $O \subset \mathbb{R}$ 的完整原象（complete preimage）：$f^{-1}\left( O \right)$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上也为开集，那么称函数 $f$ 连续。

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Example.

假设有函数：$f(x) = x^{2}: ~ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

1. 如果 $0\le a<b$ 那么 $f^{-1}\left((a, ~ b)\right) = \left(-\sqrt{b}, ~ -\sqrt{a} \right) \cup \left(\sqrt{a}, ~ \sqrt{b}\right)$；

2. 如果 $a<0<b$ 那么 $f^{-1}\left((a, ~ b)\right) = \left(-\sqrt{b}, ~ \sqrt{b}\right)$；

3. 如果 $a<b\le 0$ 那么 $f^{-1}\left((a, ~ b)\right) = \emptyset$.

因此对于任意开区间 $I$，$f^{-1}\left( I \right)$ 为开集。因此对于任意开集 $O = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}$，$f^{-1}\left( O \right) = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right)$ 为若干开集的并集，因此也为开集。故函数 $f$ 是连续函数。

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注意在该例中，为了得到最终的结论，必须证明：

$$f^{-1} \left( O \right) = f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big) = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right)$$

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Proof.

1. 对于 $\forall x \in f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big)$，有：

   $$f(x) \in f \Big( f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big) \Big) = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}$$

   由于 $I_{\alpha}$ 为互不相交的开区间，则存在唯一确定的 $I_{\alpha_{0}}$ 使：$f(x) \in I_{\alpha_{0}}$，并且：

   $$f(x) \quad \notin \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda \setminus \left\{ \alpha_{0} \right\}} I_{\alpha}$$

   那么：

   $$f(x) \in I_{\alpha_{0}} \quad \implies \quad x \in f^{-1} \left( I_{\alpha_{0}} \right)$$

   又因为：

   $$f^{-1} \left( I_{\alpha_{0}} \right) \subset \left( f^{-1} \left( I_{\alpha_{0}} \right) \cup \Big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda \setminus \left\{ \alpha_{0} \right\}} I_{\alpha} \Big) \right) = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right)$$

   则：$x \in \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right)$。综上：

   $$\forall x \in f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big): ~ x \in \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right) ~ \implies ~ f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big) \subset \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right)$$
   
   
   

2. 对于 $\forall x \in \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right)$，必定至少存在一个 $\alpha_{0}$ 使：

   $$x \in f^{-1} \left( I_{\alpha_{0}} \right) ~ \implies ~ f(x) \in I_{\alpha_{0}}$$

   又因为：$I_{\alpha_{0}} \subset \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}$，则：

   $$f(x) \in \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} ~ \implies ~ x \in f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big)$$

   因此：

   $$\forall x \in \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right): ~ x \in f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big) ~ \implies ~ \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right) \subset f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big)$$

结合 1、2 两点，得证：$f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big) = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right)$