测度论：Measure Theory (4)

首先我们先定义 \(\mathbb{R}\) 上的开区间：

An open interval in \(\mathbb{R}\) is any set of the form:

\[\left\{ x \in \mathbb{R}: ~ a < x < b \right\},\quad\mbox{where } a, b \in \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty, +\infty \right\}. \]

Definition. (Open sets in \(\mathbb{R}\))

对于实数集 \(\mathbb{R}\) 的一个子集 \(O\)，若它可以被表示为一些开区间的并集，即 \(O = \cup_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}\)，则称 \(O\) 在 \(\mathbb{R}\) 上是开的。

等价地，如果 \(O\) 可以被表示为可数不相交的开区间的并集，那么 \(O\) 是一个开集。

注意，“\(\mathbb{R}\) 上的开集能被写作可数个不相交的开区间的并”是在 \(\mathbb{R}\) 上的特有性质，而 \(\mathbb{R}^{n \in \mathbb{N}^{+}}\) 中广义开集的定义不需要可数。

显然地，任意两个开集的并集也是开集。证明很显然：假设有两个开集 \(A, B \subset \mathbb{R}\)，根据定义，它们能分别被写成一些开区间的并集，例如：

\[A = \bigcup\limits_{n \in \Lambda_{1}}~ J_{n}\qquad \qquad B = \bigcup\limits_{n \in \Lambda_{2}} ~ K_{n} \]

那么：

\[A \cup B = \left( \bigcup\limits_{n \in \Lambda_{1}}~ J_{n} \right) \cup \left( \bigcup\limits_{n \in \Lambda_{2}} ~ K_{n} \right) = \bigcup\limits_{m \in \Lambda} ~ K_{n} \]

其中 \(\Lambda = \Lambda_{1}\cup\Lambda_{2}\)，说白了就是把两个由开区间构成的集合并在一起，结果还是一个由开区间构成的集合，则符合定义。

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Corollary 4.1 (开集的等价定义)

对于子集 \(O \subset \mathbb{R}\)，若有：

\[\forall x \in O: ~ \exists \varepsilon > 0: ~ \forall y \in \left( x - \varepsilon, ~ x + \varepsilon \right): ~ y \in O \]

则 \(O\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的开集。

（这意味着：every point in \(O\) is internal。想象若 \(O\) 在边界上某处不为开，当 \(x\) 在此处取值时，则无论 \(\varepsilon\) 如何取值，以 \(x\) 为“圆心”，\(\varepsilon\) 为“半径"的超球始终会包括外部的点，因此，开集的“集合边界”必须处处为开。）

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Proof. (Corollary 4.1)

\(\Longrightarrow\)：

假设集合 \(O \subset \mathbb{R}\) 为开集，由开集的定义，\(O\) 可以被表示为开区间的并：

\[O = \bigcup\limits_{n \in \Lambda} ~ I_{n} \]

假设有 \(x \in O\)，这意味着必定存在 \(\alpha \in \mathbb{N}^{+}\)，使得 \(x \in I_{\alpha}\)。设 \(I_{\alpha} = (a, ~ b)\)，其中 \(a, ~ b \in \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty, +\infty \right\}\) （w.l.o.g. 假设 \(a, ~ b \in \mathbb{R}\))，有 \(a < x < b\)。那么对于：

\[\forall x \in (a, ~ b): ~ \exists\varepsilon = \frac{min(b-x, ~ x-a)}{2} > 0: ~ \forall y \in \left(x - \varepsilon, ~ x + \varepsilon\right): ~ y \in (a, ~ b) \subset O \]

\(\Longleftarrow\)：
假设集合 \(O \subset \mathbb{R}\) 满足：

\[\forall x \in O: ~ \exists \varepsilon > 0: ~ \forall y \in \left( x - \varepsilon, ~ x + \varepsilon \right): ~ y \in O \]

由以上条件，对于任意一点 \(\alpha \in O\)，对于相应的 \(\epsilon = \epsilon_{\alpha} > 0\)，令 \(I_{\alpha} = \left( x-\epsilon_{\alpha}, ~ x+\epsilon_{\alpha} \right)\)，则有 \(\forall y \in I_{\alpha}: ~ y \in O\)，等价于 \(I_{a} \subset O\)。

这说明对于 \(O\) 中的任何一点 \(\alpha\)，我们都能构建一个开区间 \(I_{\alpha} \subset O\) 且满足 \(\alpha \in I_{\alpha}\)，那么自然有：$ O = \bigcup\limits_{\alpha \in O} I_{\alpha}$。

这是因为：

1. 对于 \(\forall \alpha \in O: ~ \alpha \in I_{\alpha} \subset \bigcup\limits_{\alpha \in O} I_{\alpha} \implies O \subset \bigcup\limits_{\alpha \in O} I_{\alpha}\)。

2. 对于 \(\forall \alpha \in \bigcup\limits_{\alpha \in O} I_{\alpha}: ~ \alpha \in O \implies \bigcup\limits_{\alpha \in O} I_{\alpha} \subset O\)
   （下标的定义方式，我都写这么清楚了初中生也能看懂吧...）

因此集合 \(O\) 可以表示为 若干个开区间 \(I_{\alpha}\) 的并（即使这个“若干个”既可以是可数个也可以是不可数个）。由定义，集合 \(O \subset \mathbb{R}\) 为开集。

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Notes (Corollary 4.1)

在我看来，与其使用这个等价定义，不如用超球直接给出推广至度量空间 \(\left( X, ~ d \right)\) 中开集的定义，如下。其中 \(X\) 可以为 \(\mathbb{R}^{n \in \mathbb{N}^{+}}\)，\(d\) 为 \(X\) 中的一个度量（metric）或距离（distance）。（我可能以后会写具体涉及度量空间的文章）

\[\forall x \in O: ~ \exists \epsilon > 0: ~ \forall y \in B_{\epsilon}(x): ~ y \in O \]

或更直接地：

\[\forall x \in O: ~ \exists \epsilon > 0: ~ B_{\epsilon}(x) \subset O \]

补充：

\[\begin{align*} B_{\epsilon}(x) & := \left\{ p \in X: ~ d\left(p, ~ x\right) < \epsilon \right\}\\ \bar{B}_{\epsilon}(x) & := \left\{ p \in X: ~ d\left(p, ~ x\right) \leq \epsilon \right\} \end{align*} \]

（open or closed ball of radius \(\epsilon\) centered at point \(x \in X\) ）

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Definition. (Closed sets in \(\mathbb{R}\))

一个集合被称作闭集，如果它的补集为开集。

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Definition. (Limiting Point：极限点)

如果对于 \(\forall x \in \mathbb{R}\)，若对于 \(\forall \epsilon > 0\)，都 \(\exists y \in A\)，使得 \(y \in \left( x-\epsilon, ~ x+\epsilon \right)\)，则称 \(x\) 为 \(A\) 的一个极限点（limiting point），即：

\[\begin{align*} & \forall x \in \mathbb{R}: ~ \forall \epsilon > 0: ~ \exists y \in A: y \in \left( x-\epsilon, ~ x+\epsilon \right)\\ \iff & \\ & \forall x \in \mathbb{R}: ~ \forall \epsilon > 0: ~ A \cap \left( x-\epsilon, ~ x+\epsilon \right) \neq \emptyset \end{align*} \]

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Corollary 4.2 (闭集的等价定义)

集合 \(A \in \mathbb{R}\) 为闭集 \(\iff\) 集合 \(A \in \mathbb{R}\) 包含了 \(A\) 所有的极限点。

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Notes (Corollary 4.2)

注意，极限点的定义方式 implies that，一个集合的极限点可能不在这个集合中。

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Proof. (Corollary 4.2)

\(\Longrightarrow\)：

若 \(A \in \mathbb{R}\) 为闭集，则 \(A^{c}\) 为开集。由定义，后者可以写作 \(A^{c} = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}\)，其中 \(I_{\alpha}\) 皆为开区间。由于在讨论 \(\mathbb{R}\) 上的情况，则 \(\Lambda\) 可以是可数集，且对于 \(\forall i, j \in \Lambda, ~ i \neq j: ~ I_{i} \cap I_{j} = \emptyset\)。

假设存在 \(A\) 的极限点 \(x_{0}\) 且满足 \(x_{0} \in A^{c}\)，可知，存在确定且唯一的开区间 \(I_{\alpha}\) 使 \(x_{0} \in I_{\alpha} \subset A^{c}\)。设 \(I_{\alpha} = \left( a, ~ b \right)\)，其中 \(a, b \in \mathbb{R} \cup \left\{ -\infty, +\infty \right\}\)， 显然有 $ a < x_{0} < b$。因为 \(x_{0}\) 为极限点，由极限点的定义，则对于：

\[\forall \epsilon > 0: ~ A \cap \left( x_{0} - \epsilon, ~ x_{0} + \epsilon \right) \neq \emptyset \]

但如果令 \(\epsilon_{0} = \min\left( x_{0} - a, ~ b - x_{0} \right) > 0\)，此时：\(\left( x_{0} - \epsilon_{0}, ~ x_{0} + \epsilon_{0} \right) \subset I_{\alpha}\)，而 \(A \cap I_{\alpha} = \emptyset\)，所以产生矛盾。故不存在极限点 \(x_{0} \in A\)，使 \(x_{0} \in A^{c}\)，即：所有 \(A\) 的极限点 \(\in A\)。

\(\Longleftarrow\)：
若集合 \(A \in \mathbb{R}\) 包含了其所有的极限点，则 \(A^{c}\) 中不含任何 \(A\) 的极限点，i.e.,

\[\forall x \in A^{c}: ~ \exists \epsilon > 0: ~ A \cap \left( x-\epsilon, ~ x+\epsilon \right) = \emptyset \]

可以发现，开区间 \(\left( x-\epsilon, ~ x+\epsilon \right)\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的一维开球：\(B_{\epsilon}(x)\)，则 \(A \cap B_{\epsilon}(x) = \emptyset\)，因此必有 \(B_{\epsilon}(x) \subset A^{c}\)，否则：

\[\exists a \in B_{\epsilon}(x) ~ \mbox{ s.t. } ~ a \in A ~ \implies ~ A \cap B_{\epsilon}(x) \neq \emptyset \]

则产生矛盾。所以，

\[\forall x \in A^{c}: ~ \exists \epsilon > 0: ~ B_{\epsilon}(x) \subset A^{c} \]

即 \(A^{c}\) 中的所有点都为 internal point，这是 \(A^{c}\) 为开集的等价定义（Corollay 4.1）。故：若 \(A\) 包含其所有的极限点 \(\implies\) \(A\) 为闭集。

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Corollary 4.3

任意有限个开集的交集依旧为交集。

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Notes. (Corollary 4.3)

此处针对“任意有限个开集”的证明，实际等价于针对“任意两个开集”的证明，因为后者可以直接 by induction 推至前者。注意，这里也只能推至“有限交”的情况，而不能推至“可数交”的情况。数学归纳法仅仅是证明对于任意 \(n \in \mathbb{N}\) 时的情况，不能推广至 infinity，因为一旦我们讨论 \(n \in \mathbb{N}\) 的情况，\(n\) 已经固定为一个有限的自然数。另一方面，在第一篇文章中我已经指出了所谓“看似能类比而实则不能的问题”，见：测度论：Measure Theory (1)

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Proof. (Corollary 4.3)

设 \(A_{1}, A_{2}\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的两个开集，由定义可以分别写作：

\[A_{1} = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda_{1}} I_{\alpha}, \qquad A_{2} = \bigcup\limits_{\beta \in \Lambda_{2}} J_{\beta} \]

其中 \(I_{\alpha}, J_{\beta}\) 为开区间，\(\Lambda_{1}, \Lambda_{2}\) 为可数集，并且：

\[\forall m,n \in \Lambda_{1}, ~ m \neq n: ~ I_{m} \cap I_{n} = \emptyset \\ \forall m,n \in \Lambda_{2}, ~ m \neq n: ~ J_{m} \cap J_{n} = \emptyset \\ \]

那么：

\[A_{1} \cap A_{2} = \left( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda_{1}} I_{\alpha} \right) \cap A_{2} = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda_{1}} \left( I_{\alpha} \cap A_{2} \right) = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda_{1}} \left( I_{\alpha} \cap \Big( \bigcup\limits_{\beta \in \Lambda_{2}} J_{\beta} \Big) \right) = \bigcup\limits_{\alpha} \bigcup\limits_{\beta} \left( I_{\alpha} \cap J_{\beta} \right) \]

Without loss of generality，假设我们不知道两个开区间的交集依然为开区间的性质：

1. 若 \(I_{\alpha} \subset J_{\beta} \implies I_{\alpha} \cap J_{\beta} = I_{\alpha}\) 为开集。

2. 若 \(I_{\alpha} \cap J_{\beta} = \emptyset\)，而空集也是开集（即一个开区间 \(\left(a, ~ a \right), ~ \forall a \in \mathbb{R}\)）。

3. 若 \(I_{\alpha} \cap J_{\beta} = K\)，其中 \(K\) 为非空开区间。那么 \(\left( I_{\alpha} \cap J_{\beta} \right)\) 为一个非空开区间，则在 \(\Lambda_{1}, \Lambda_{2}\) 上做可数并运算后，由定义可知 \(\bigcup\limits_{\alpha} \bigcup\limits_{\beta} \left( I_{\alpha} \cap J_{\beta} \right)\) 为一个开集。

综上所述，两个开集 \(A_{1}, A_{2} \subset \mathbb{R}\) 的交集也为开集。

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Definition. (Borel \(\sigma-\)field)

在 \(\mathbb{R}^{n}\) 中，包含所有开集的最小 \(\sigma-\)field 称作 Borel \(\sigma-\)field，通常记作 \(\mathcal{B} = \mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)，Borel \(\sigma-\)field 中的集合称作 Borel sets（which are Borel-measurable）。

注意: 在 \(\mathbb{R}\) 上的 Borel \(\sigma-\)field: \(\mathcal{B} = \mathcal{B}(\mathbb{R})\) 中不止包含开集，因为\(\sigma-\)field 对可数交运算封闭，而可数个开集的交集可以不为开集。例如：\(\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}^{+}} \left( 0, ~ 1 + \frac{1}{n} \right) = (0, ~ 1]\)。

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Definition. (Topology)

对于全集 \(\Omega\) 上的一个集类 \(\tau\)，如果满足：

1. \(\emptyset, ~ \Omega \in \tau\)。
2. \(\tau\) 对于任意（即可以为不可数）并运算封闭。
3. \(\tau\) 对于有限交运算封闭。

则称集类 \(\tau\) 为 \(\Omega\) 上的一个拓扑（topology）。\(\left( \Omega, \tau \right)\) 称作是一个拓扑空间（topological space）。

例如，\(\mathbb{R}\) 上的空集定义了一个拓扑，因此它与 \(\mathbb{R}\) 构成了一个拓扑空间。

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\(\mathbb{R}^{n} ~ (n > 1)\) 空间中的空集，可以被定义为 \(\mathbb{R}\) 上若干开区间的 \(n\) 重笛卡尔积的并集。

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Definition. (Continuity)

对于实值函数 \(f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}\)，如果对于任意开集 \(O \subset \mathbb{R}\) 的完整原象（complete preimage）：\(f^{-1}\left( O \right)\) 在 \(\mathbb{R}^{n}\) 上也为开集，那么称函数 \(f\) 连续。

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Example.

假设有函数：\(f(x) = x^{2}: ~ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)

1. 如果 \(0\le a<b\) 那么 \(f^{-1}\left((a, ~ b)\right) = \left(-\sqrt{b}, ~ -\sqrt{a} \right) \cup \left(\sqrt{a}, ~ \sqrt{b}\right)\)；

2. 如果 \(a<0<b\) 那么 \(f^{-1}\left((a, ~ b)\right) = \left(-\sqrt{b}, ~ \sqrt{b}\right)\)；

3. 如果 \(a<b\le 0\) 那么 \(f^{-1}\left((a, ~ b)\right) = \emptyset\).

因此对于任意开区间 \(I\)，\(f^{-1}\left( I \right)\) 为开集。因此对于任意开集 \(O = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}\)，\(f^{-1}\left( O \right) = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right)\) 为若干开集的并集，因此也为开集。故函数 \(f\) 是连续函数。

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注意在该例中，为了得到最终的结论，必须证明：

\[f^{-1} \left( O \right) = f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big) = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right) \]

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Proof.

1. 对于 \(\forall x \in f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big)\)，有：

   \[f(x) \in f \Big( f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big) \Big) = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \]

   由于 \(I_{\alpha}\) 为互不相交的开区间，则存在唯一确定的 \(I_{\alpha_{0}}\) 使：\(f(x) \in I_{\alpha_{0}}\)，并且：

   \[f(x) \quad \notin \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda \setminus \left\{ \alpha_{0} \right\}} I_{\alpha} \]

   那么：

   \[f(x) \in I_{\alpha_{0}} \quad \implies \quad x \in f^{-1} \left( I_{\alpha_{0}} \right) \]

   又因为：

   \[f^{-1} \left( I_{\alpha_{0}} \right) \subset \left( f^{-1} \left( I_{\alpha_{0}} \right) \cup \Big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda \setminus \left\{ \alpha_{0} \right\}} I_{\alpha} \Big) \right) = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right) \]

   则：\(x \in \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right)\)。综上：

   \[\forall x \in f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big): ~ x \in \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right) ~ \implies ~ f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big) \subset \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right) \]
   
   
   

2. 对于 \(\forall x \in \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right)\)，必定至少存在一个 \(\alpha_{0}\) 使：

   \[x \in f^{-1} \left( I_{\alpha_{0}} \right) ~ \implies ~ f(x) \in I_{\alpha_{0}} \]

   又因为：\(I_{\alpha_{0}} \subset \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha}\)，则：

   \[f(x) \in \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} ~ \implies ~ x \in f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big) \]

   因此：

   \[\forall x \in \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right): ~ x \in f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big) ~ \implies ~ \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right) \subset f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big) \]

结合 1、2 两点，得证：$f^{-1} \big( \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} I_{\alpha} \big) = \bigcup\limits_{\alpha \in \Lambda} f^{-1} \left( I_{\alpha} \right)$