控制收敛定理：Dominated Convergence Theorem

控制收敛定理（Dominated Convergence Theorem）是继Fatou's Lemma与单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）后的又一重要定理，在测度论、条件期望、随机微积分中有诸多重要应用。

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在证明前先引入一条引理：

Lemma

对于任意实序列 $\left\{ a_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$，都有：

$$\bf \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} ~ \left( -a_{n} \right) = -\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} ~ \left( a_{n} \right)$$

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Proof. (Lemma)

对于： $\forall N \in \mathbb{N}: \inf\limits_{k \geq N} \left( -a_{k} \right) = \inf\left\{ -a_{N}, -a_{N+1}, -a_{N+2}, \ldots \right\}$，

即，由定义：

$$\forall k \geq N: ~ -a_{k} \geq \inf\limits_{k \geq N} \left( -a_{k} \right)$$

并且：

$$\forall \epsilon > 0: ~ \exists k_{0} \in \mathbb{N}: ~ -a_{k_{0}} < \inf\limits_{k \geq N} \left( -a_{k} \right) + \epsilon$$

而以上两个statement等价于：

$$\forall k \geq N: ~ a_{k} \leq -\inf\limits_{k \geq N} \left( -a_{k} \right)$$

与：

$$\forall \epsilon > 0: ~ \exists k_{0} \in \mathbb{N}: ~ a_{k_{0}} > -\inf\limits_{k \geq N} \left( -a_{k} \right) - \epsilon$$

可以发现，若将 $-\inf\limits_{k \geq N} \left( -a_{k} \right)$ 视作一个整体，则恰好满足supremum的定义，即：

$$\forall N \in \mathbb{N}: ~ -\inf\limits_{k \geq N} \left( -a_{k} \right) = \sup\limits_{k \geq N} \left( a_{k} \right)$$

所以：

$$\forall N \in \mathbb{N}: ~ \sup\limits_{k \geq N} \left( a_{k} \right) + \inf\limits_{k \geq N} \left( -a_{k} \right) = 0$$

所以：

$$\lim\limits_{N \rightarrow \infty} \left( \sup\limits_{k \geq N}\left( a_{k} \right) + \inf\limits_{k \geq N} \left( -a_{k} \right) \right) ~ = ~ \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \sup\limits_{k \geq N}\left( a_{k} \right) + \lim\limits_{N \rightarrow \infty}\inf\limits_{k \geq N} \left( -a_{k} \right) = 0\\ \implies \qquad \qquad \qquad \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \left( a_{n} \right) ~ + ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \left( -a_{n} \right) ~ = ~ 0 \qquad \qquad \qquad \qquad$$

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Dominated Convergence Theorem（控制收敛定理）

令 $\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$ 为 $E \in \mathcal{M}$ 上的可测函数序列，$g$ 为同在 $E$ 上的勒贝格可积函数（即，$\int_{E} ~ g ~ dm < \infty$），满足对于 $\forall n \geq 1: |f_{n}| \leq g ~$ almost surely。若 $f = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_{n} ~$ almost surely，那么：

• $f$ 在 $E$ 上可积
• 且：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm = \int_{E} ~ f ~ dm = \int_{E} ~ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_{n} ~ dm$

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Proof. (Dominated Convergence Theorem)

由：$|f_{n}| \leq g$，有 $-g \leq f_{n} \leq g \iff 0 \leq f_{n} + g \leq 2g$，那么：

1. $f_{n} + g \geq 0$ 非负且可积，并且逐点收敛于 $\left( f + g \right)$，对其应用Fatou's Lemma：

$$\liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ \left( f_{n} + g \right) ~ dm \geq \int_{E} ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \left( f_{n} + g \right) ~ dm = \int_{E} ~ \left( f + g \right) ~ dm$$

则：

$$\liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \left( \int_{E} ~ f_{n} ~ dm + \int_{E} ~ g ~ dm \right) ~ = ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm + \int_{E} ~ g ~ dm ~ \geq ~ \int_{E} ~ f ~ dm + \int_{E} ~ g ~ dm\\ \implies \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm ~ \geq ~ \int_{E} ~ f ~ dm \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$$

2. $2g - \left( f_{n} + g \right) = g - f_{n} \geq 0$ 非负且可积，并且逐点收敛于 $\left( g - f \right)$，对其应用Fatou's Lemma：

$$\liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ \left( g - f_{n} \right) ~ dm \geq \int_{E} \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \left( g - f_{n} \right) ~ dm$$

$$\begin{align*} \implies \qquad \qquad \int_{E} \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \left( g - f_{n} \right) ~ dm ~ & \leq ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} \left( g - f_{n} \right) ~ dm \qquad \qquad \\ & = ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \left( \int_{E} g ~ dm - \int_{E} f ~ dm \right) \qquad \qquad \\ & = ~ \int_{E} g ~ dm + \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} \left( -f_{n} \right) ~ dm \qquad \qquad \end{align*}$$

由引理所证：

$$\liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ \left( -f_{n} \right) ~ dm ~ = ~ -\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm$$

则：

$$\int_{E} ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \left( g - f_{n} \right) ~ dm ~ = ~ \int_{E} ~ \left( g - f \right) ~ dm ~ = ~ \int_{E} ~ g ~ dm - \int_{E} ~ f ~ dm ~ \leq ~ \int_{E} ~ g ~ dm - \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm\\ \implies \qquad \qquad \qquad \qquad \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \int_{E} ~ f ~ dm \qquad \qquad \qquad \qquad$$

又由 1. 中所得：

$$\liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm ~ \geq ~ \int_{E} ~ f ~ dm$$

以及显然：

$$\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \geq \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm$$

综上则有：

$$\liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm ~ \leq ~ \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm ~ \leq ~ \int_{E} ~ f ~ dm ~ \leq ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm$$

由于当且仅当序列上极限等于下极限时，序列存在极限，且极限值、上极限值、下极限值三者相等，最终有：

$$\liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm ~ = ~ \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm ~ = ~ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm ~ = ~ \int_{E} ~ f ~ dm$$