Fatou's Lemma 与 单调收敛定理（MCT）

Fatou's Lemma and Monotone Convergence Theorem (MCT)

法图引理和单调收敛定理

在测度论中，Fatou's Lemma和单调收敛定理(MCT)是尤为重要的两个结论，它们不仅可以各自单独被证明，还可以进行互推（即，在已知Fatou's Lemma的条件下证MCT，反之亦然）。互推不意味着在证明中可以用Fatou's Lemma推完MCT后，再用MCT去推Fatou's Lemma，这属于左脚踩右脚就想上天的思路，然而这种不负责任的证明在网上屡见不鲜：

主流的做法是先独立证明MCT，再用MCT的结论证明Fatou's Lemma（例如Terence Tao的\(\textit{An Introduction to Measure Theory}\)和\(\textit{Analysis I}\)； Sheldon Axler的\(\textit{Measure, Integration & Real Analysis}\)中均先给出MCT的证明)，这里我反其道而行之。

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Fatou's Lemma (法图引理)

若\(\left\{f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\)为一个由非负且可测的函数构成的序列，且对于任意\(n \in \mathbb{N}\)，\(f_{n}\)定义在\(E \in \mathcal{M}\)上（\(\mathcal{M}\)代表所有勒贝格可测集构成的集类），那么：

\[\mathbf{\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \geq \int_{E} ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} ~f_{n} ~ dm} \]

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Proof. (Fatou's Lemma)

设：\(g_{n}(x) = \inf\limits_{k \geq n}f_{k}(x)~\) for \(~\forall n \in \mathbb{N}^{+}\)，那么：

\[g_{1}(x) = \inf\left\{ f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), \ldots \right\};~ g_{2}(x) = \inf\left\{ f_{2}(x), f_{3}(x), \ldots \right\}, \cdots \]

由于：

\[\left\{ f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), \ldots \right\} \supset \left\{ f_{2}(x), f_{3}(x), \ldots \right\} \supset \cdots \]

则：

\[g_{1}(x) \leq g_{2}(x) \leq g_{3}(x) \leq \cdots \]

i.e., 对于\(\forall x \in E: ~\left\{ g_{n}(x) \right\}^{\infty}_{n=1}\)为一个单调递增序列。

设：\(f(x) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}g_{n}(x)\)， 那么\(f(x) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[ \inf\limits_{k \geq n} f_{k}(x)\right] = \liminf\limits_{n \rightarrow \infty}f_{n}(x)\)。
令：\(\varphi\)为任意简单函数，such that \(0 \leq \varphi \leq f = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} g_{n} = \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}\)，且\(~\varphi~\)定义在\(E \in \mathcal{M}\)上，那么：\(\varphi \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty}g_{n}\)，又：\(g_{n}\)
单调递增，那么：

\[\forall \varphi: \exists N \in \mathbb{N}: \forall n \geq N: g_{n} \geq \varphi \]

或等价地：

\[\forall \varphi: \exists N \in \mathbb{N}: \forall n \geq N: \forall x \in E: g_{n}(x) \geq \varphi(x) \]

而：\(g_{n}=\inf\limits_{k \geq n \geq N} f_{k}\)，则：\(g_{n} \geq \varphi ~ \implies ~ \inf\limits_{k \geq n \geq N} f_{k} \geq \varphi\)

• 注意：这里的"\(\forall \varphi\)"代表了任意满足\(0 \leq \varphi \leq f\)的简单函数\(\varphi\)。
  $g_{n} = \inf\limits_{k \geq n \geq N} f_{k} ~ $ 实际上在表达：函数序列\(\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\)末端的(eventual)的下界 \(\geq\) \(\varphi\)，或者说，\(\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\) dominates \(\varphi\) eventually.

当\(N\)确定后，\(\inf\limits_{k \geq N} f_{k}(x)\) 实际上是对一个从 \(n = N\) 的递增序列求其下确界。
那么自然有：

\[\forall N \in \mathbb{N}: \forall n \geq N: \inf\limits_{k \geq n}f_{k}(x) \geq \inf\limits_{k \geq N} f_{k}(x) \]

所以命题退化为：

\[\forall \varphi: \exists N \in \mathbb{N}: \forall x \in E: \inf\limits_{k \geq N}f_{k}(x) \geq \varphi(x) \]

又因为：\(f_{k}(x) \geq \inf\limits_{k \geq N} f_{k}(x) \geq \varphi(x)\)，所以：

\[\forall \varphi: \exists N \in \mathbb{N}: \forall x \in E: \forall k \geq N: f_{k}(x) \geq \varphi(x) \]

\(f_{k \in \mathbb{N}}\) 和 \(\varphi\)都定义在\(E \in \mathcal{M}\)上，由Lebesgue Integral的性质，有：

\[f_{k} \geq \varphi \geq 0 ~ \implies ~ \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \geq \int_{E} ~ \varphi ~ dm \]

即：

\[\forall \varphi: \exists N \in \mathbb{N}: \forall k \geq N: \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \geq \int_{E} ~ \varphi ~ dm\\ \implies \qquad \qquad \forall \varphi: \inf\limits_{k \geq N} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \geq \int_{E} ~ \varphi ~ dm \qquad \qquad \qquad \qquad \]

• 注意：这个式子实际在说，对于任意满足\(0 \leq \varphi \leq f\)的简单函数\(\varphi\)， \(\int_{E} ~ \varphi ~ dm\) dominated (bounded above) by \(\left\{ \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \right\}^{\infty}_{k=1}\) eventually.（i.e. bounded above by \(\left\{ \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \right\}^{\infty}_{k=1}\)序列某段末端的下确界。

相似地，\(\left\{ \inf\limits_{k \geq N} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \right\}^{\infty}_{N}\) 也是一个递增序列，则：

\[\lim\limits_{N \rightarrow \infty} \inf\limits_{k \geq N} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \; \geq \; \inf\limits_{k \geq N} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \; \geq \; \int_{E} ~ \varphi ~ dm\\ \implies \qquad \forall \varphi: \; \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \inf_{k \geq N} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \; = \; \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \; \geq \; \int_{E} ~ \varphi ~ dm \qquad \qquad \qquad \]

由于该不等式对于所有满足\(0 \leq \varphi \leq f\)的简单函数\(\varphi\)都成立，那么：

\[\begin{align*} \liminf_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \; & \geq \; \liminf_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ \sup\limits_{\varphi}\left\{ \varphi: \varphi \mbox{ is simple}, ~ 0 \leq \varphi \leq f \right\} ~ dm\\ & = \int_{E} ~ f ~ dm\\ & = \int_{E} ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} f_{n} ~ dm \end{align*} \]

得证：\(\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \geq \int_{E} ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} ~ f_{n} ~ dm\)。

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Monotone Convergence Theorem (MCT: 单调收敛定理)

若\(\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\)为一个非负、可测、递增的函数序列，并且\(\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\)收敛于\(f\)，\(f_{n \in \mathbb{N}}\)和\(f\)都定义在\(E \in \mathcal{M}\)上，即\(\forall x \in E: \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = f(x)\)，那么：

\[\mathbf{\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \; = \; \int_{E} ~ f ~ dm} \]

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Proof. 1 (Monotone Convergence Theorem)

这里我想出了一个不依赖Fatou's Lemma的独立证明。

由于：\(\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\)为非负、可测、递增的函数序列，那么对于：
\(\forall n \in \mathbb{N}: \int_{E} ~ f_{n} ~ dm\) 存在，并且\(\left\{ \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \right\}^{\infty}_{n=1}\) 也为递增序列。

由于：\(\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\)单调递增且收敛于\(f\)，那么：

\[\forall n \in \mathbb{N}: ~ f_{n} \leq f \]

故：

\[\forall n \in \mathbb{N}: \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \; \leq \; \int_{E} ~ f ~ dm \]

令：\(F_{n} = \int_{E} ~ f_{n} ~ dm\)，则序列\(\left\{ \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \right\}^{\infty}_{n=1} = \left\{ F_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\)单调递增且有上界\(\int_{E} ~ f ~ dm\)（可能为\(\infty\)，严格来说正无穷不能称作“上界”）。

现在证明：\(\int_{E} ~ f ~ dm\) 为 \(\left\{ F_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\) 的上确界。

1. 已经知道：

\[\forall n \in \mathbb{N}: F_{n} \; = \; \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \; \leq \; \int_{E} ~ f ~ dm \]

2. 假设存在\(\epsilon > 0\)，such that: \(\quad \int_{E} ~ f ~ dm - \epsilon \geq \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \quad\) for all \(n \in \mathbb{N}\), i.e.,

\[\exists \epsilon > 0: ~ \forall n \in \mathbb{N}: ~ \int_{E} ~ \left(f-f_{n}\right) ~ dm \geq \epsilon \]

令：\(g_{n} = f - f_{n}\)，那么对于\(\forall n \in \mathbb{N}: ~ g_{n} \geq 0\)，并且\(\left\{ g_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}\)单调递减，以及\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} g_{n} = 0\)， 而：

\[\int_{E} ~ g_{n} ~ dm \; = \; \sup\left\{ \sum\limits^{N}_{n=1}a_{n} \cdot m\left( \varphi^{-1}_{n}(\left\{ a_{n} \right\}) \right): \varphi_{n} \mbox{ is simple function }, ~ 0 \leq \varphi_{n} \leq g_{n} \right\} \]

由于 \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} g_{n} = 0 \;\) implies that \(\; \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \varphi_{n} = 0\), 因此假设不可能成立。

• 注意：这里其实可以有更严格的证明，即根据极限的定义，通过赋值将简单函数的勒贝格积分控制在\(\epsilon\)以内

所以：\(\left\{ \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \right\}^{\infty}_{n=1}\)的上确界为\(\int_{E} ~ f ~ dm\)，且它单调递增，

因此：\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \; = \; \int_{E} ~ f ~ dm\)

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Proof. 2 (Monotone Convergence Theorem)

这个证明使用Fatou's Lemma.

由于：\(\forall n \in \mathbb{N}: ~ f_{n} \leq f\)，则：\(\int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \int_{E} ~ f ~ dm\)。

若\(N\)先确定，有：

\[\sup\limits_{n \geq N} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \int_{E} ~ f ~ dm\\ \implies \qquad \qquad \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \sup\limits_{n \geq N} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \int_{E} ~ f ~ dm \qquad \qquad \qquad\\ \implies \qquad \qquad \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \int_{E} ~ f ~ dm \qquad \qquad \qquad \]

由Fatou's Lemma：

\[\int_{E} ~ f ~ dm = \int_{E} ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} ~ f_{n} ~ dm \leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \]

同时，显然有：

\[\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \]

因此：

\[\mathbf{\int_{E} ~ f ~ dm} = \int_{E} ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} ~ f_{n} ~ dm \leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \mathbf{\int_{E} ~ f ~ dm} \]

所以：

\[\int_{E} ~ f ~ dm = \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm = \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \]

因为当且仅当序列上极限等于下极限时，序列存在极限，且极限值等于上极限等于下极限，则证毕：

\[\int_{E} ~ f ~ dm = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm = \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm = \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \]