Fatou's Lemma 与 单调收敛定理（MCT）

Fatou's Lemma and Monotone Convergence Theorem (MCT)

法图引理和单调收敛定理

在测度论中，Fatou's Lemma和单调收敛定理(MCT)是尤为重要的两个结论，它们不仅可以各自单独被证明，还可以进行互推（即，在已知Fatou's Lemma的条件下证MCT，反之亦然）。互推不意味着在证明中可以用Fatou's Lemma推完MCT后，再用MCT去推Fatou's Lemma，这属于左脚踩右脚就想上天的思路，然而这种不负责任的证明在网上屡见不鲜：

主流的做法是先独立证明MCT，再用MCT的结论证明Fatou's Lemma（例如Terence Tao的$\textit{An Introduction to Measure Theory}$和$\textit{Analysis I}$； Sheldon Axler的$\textit{Measure, Integration & Real Analysis}$中均先给出MCT的证明)，这里我反其道而行之。

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Fatou's Lemma (法图引理)

若$\left\{f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$为一个由非负且可测的函数构成的序列，且对于任意$n \in \mathbb{N}$，$f_{n}$定义在$E \in \mathcal{M}$上（$\mathcal{M}$代表所有勒贝格可测集构成的集类），那么：

$$\mathbf{\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \geq \int_{E} ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} ~f_{n} ~ dm}$$

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Proof. (Fatou's Lemma)

设：$g_{n}(x) = \inf\limits_{k \geq n}f_{k}(x)~$ for $~\forall n \in \mathbb{N}^{+}$，那么：

$$g_{1}(x) = \inf\left\{ f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), \ldots \right\};~ g_{2}(x) = \inf\left\{ f_{2}(x), f_{3}(x), \ldots \right\}, \cdots$$

由于：

$$\left\{ f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), \ldots \right\} \supset \left\{ f_{2}(x), f_{3}(x), \ldots \right\} \supset \cdots$$

则：

$$g_{1}(x) \leq g_{2}(x) \leq g_{3}(x) \leq \cdots$$

i.e., 对于$\forall x \in E: ~\left\{ g_{n}(x) \right\}^{\infty}_{n=1}$为一个单调递增序列。

设：$f(x) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}g_{n}(x)$， 那么$f(x) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[ \inf\limits_{k \geq n} f_{k}(x)\right] = \liminf\limits_{n \rightarrow \infty}f_{n}(x)$。
令：$\varphi$为任意简单函数，such that $0 \leq \varphi \leq f = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} g_{n} = \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}$，且$~\varphi~$定义在$E \in \mathcal{M}$上，那么：$\varphi \leq \lim\limits_{n \rightarrow \infty}g_{n}$，又：$g_{n}$
单调递增，那么：

$$\forall \varphi: \exists N \in \mathbb{N}: \forall n \geq N: g_{n} \geq \varphi$$

或等价地：

$$\forall \varphi: \exists N \in \mathbb{N}: \forall n \geq N: \forall x \in E: g_{n}(x) \geq \varphi(x)$$

而：$g_{n}=\inf\limits_{k \geq n \geq N} f_{k}$，则：$g_{n} \geq \varphi ~ \implies ~ \inf\limits_{k \geq n \geq N} f_{k} \geq \varphi$

• 注意：这里的"$\forall \varphi$"代表了任意满足$0 \leq \varphi \leq f$的简单函数$\varphi$。
  $g_{n} = \inf\limits_{k \geq n \geq N} f_{k} ~$ 实际上在表达：函数序列$\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$末端的(eventual)的下界 $\geq$ $\varphi$，或者说，$\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$ dominates $\varphi$ eventually.

当$N$确定后，$\inf\limits_{k \geq N} f_{k}(x)$ 实际上是对一个从 $n = N$ 的递增序列求其下确界。
那么自然有：

$$\forall N \in \mathbb{N}: \forall n \geq N: \inf\limits_{k \geq n}f_{k}(x) \geq \inf\limits_{k \geq N} f_{k}(x)$$

所以命题退化为：

$$\forall \varphi: \exists N \in \mathbb{N}: \forall x \in E: \inf\limits_{k \geq N}f_{k}(x) \geq \varphi(x)$$

又因为：$f_{k}(x) \geq \inf\limits_{k \geq N} f_{k}(x) \geq \varphi(x)$，所以：

$$\forall \varphi: \exists N \in \mathbb{N}: \forall x \in E: \forall k \geq N: f_{k}(x) \geq \varphi(x)$$

$f_{k \in \mathbb{N}}$ 和 $\varphi$都定义在$E \in \mathcal{M}$上，由Lebesgue Integral的性质，有：

$$f_{k} \geq \varphi \geq 0 ~ \implies ~ \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \geq \int_{E} ~ \varphi ~ dm$$

即：

$$\forall \varphi: \exists N \in \mathbb{N}: \forall k \geq N: \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \geq \int_{E} ~ \varphi ~ dm\\ \implies \qquad \qquad \forall \varphi: \inf\limits_{k \geq N} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \geq \int_{E} ~ \varphi ~ dm \qquad \qquad \qquad \qquad$$

• 注意：这个式子实际在说，对于任意满足$0 \leq \varphi \leq f$的简单函数$\varphi$， $\int_{E} ~ \varphi ~ dm$ dominated (bounded above) by $\left\{ \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \right\}^{\infty}_{k=1}$ eventually.（i.e. bounded above by $\left\{ \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \right\}^{\infty}_{k=1}$序列某段末端的下确界。

相似地，$\left\{ \inf\limits_{k \geq N} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \right\}^{\infty}_{N}$ 也是一个递增序列，则：

$$\lim\limits_{N \rightarrow \infty} \inf\limits_{k \geq N} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \; \geq \; \inf\limits_{k \geq N} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \; \geq \; \int_{E} ~ \varphi ~ dm\\ \implies \qquad \forall \varphi: \; \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \inf_{k \geq N} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \; = \; \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \; \geq \; \int_{E} ~ \varphi ~ dm \qquad \qquad \qquad$$

由于该不等式对于所有满足$0 \leq \varphi \leq f$的简单函数$\varphi$都成立，那么：

$$\begin{align*} \liminf_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{k} ~ dm \; & \geq \; \liminf_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ \sup\limits_{\varphi}\left\{ \varphi: \varphi \mbox{ is simple}, ~ 0 \leq \varphi \leq f \right\} ~ dm\\ & = \int_{E} ~ f ~ dm\\ & = \int_{E} ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} f_{n} ~ dm \end{align*}$$

得证：$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \geq \int_{E} ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} ~ f_{n} ~ dm$。

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Monotone Convergence Theorem (MCT: 单调收敛定理)

若$\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$为一个非负、可测、递增的函数序列，并且$\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$收敛于$f$，$f_{n \in \mathbb{N}}$和$f$都定义在$E \in \mathcal{M}$上，即$\forall x \in E: \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = f(x)$，那么：

$$\mathbf{\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \; = \; \int_{E} ~ f ~ dm}$$

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Proof. 1 (Monotone Convergence Theorem)

这里我想出了一个不依赖Fatou's Lemma的独立证明。

由于：$\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$为非负、可测、递增的函数序列，那么对于：
$\forall n \in \mathbb{N}: \int_{E} ~ f_{n} ~ dm$ 存在，并且$\left\{ \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \right\}^{\infty}_{n=1}$ 也为递增序列。

由于：$\left\{ f_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$单调递增且收敛于$f$，那么：

$$\forall n \in \mathbb{N}: ~ f_{n} \leq f$$

故：

$$\forall n \in \mathbb{N}: \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \; \leq \; \int_{E} ~ f ~ dm$$

令：$F_{n} = \int_{E} ~ f_{n} ~ dm$，则序列$\left\{ \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \right\}^{\infty}_{n=1} = \left\{ F_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$单调递增且有上界$\int_{E} ~ f ~ dm$（可能为$\infty$，严格来说正无穷不能称作“上界”）。

现在证明：$\int_{E} ~ f ~ dm$ 为 $\left\{ F_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$ 的上确界。

1. 已经知道：

$$\forall n \in \mathbb{N}: F_{n} \; = \; \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \; \leq \; \int_{E} ~ f ~ dm$$

2. 假设存在$\epsilon > 0$，such that: $\quad \int_{E} ~ f ~ dm - \epsilon \geq \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \quad$ for all $n \in \mathbb{N}$, i.e.,

$$\exists \epsilon > 0: ~ \forall n \in \mathbb{N}: ~ \int_{E} ~ \left(f-f_{n}\right) ~ dm \geq \epsilon$$

令：$g_{n} = f - f_{n}$，那么对于$\forall n \in \mathbb{N}: ~ g_{n} \geq 0$，并且$\left\{ g_{n} \right\}^{\infty}_{n=1}$单调递减，以及$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} g_{n} = 0$， 而：

$$\int_{E} ~ g_{n} ~ dm \; = \; \sup\left\{ \sum\limits^{N}_{n=1}a_{n} \cdot m\left( \varphi^{-1}_{n}(\left\{ a_{n} \right\}) \right): \varphi_{n} \mbox{ is simple function }, ~ 0 \leq \varphi_{n} \leq g_{n} \right\}$$

由于 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} g_{n} = 0 \;$ implies that $\; \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \varphi_{n} = 0$, 因此假设不可能成立。

• 注意：这里其实可以有更严格的证明，即根据极限的定义，通过赋值将简单函数的勒贝格积分控制在$\epsilon$以内

所以：$\left\{ \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \right\}^{\infty}_{n=1}$的上确界为$\int_{E} ~ f ~ dm$，且它单调递增，

因此：$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \; = \; \int_{E} ~ f ~ dm$

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Proof. 2 (Monotone Convergence Theorem)

这个证明使用Fatou's Lemma.

由于：$\forall n \in \mathbb{N}: ~ f_{n} \leq f$，则：$\int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \int_{E} ~ f ~ dm$。

若$N$先确定，有：

$$\sup\limits_{n \geq N} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \int_{E} ~ f ~ dm\\ \implies \qquad \qquad \lim\limits_{N \rightarrow \infty} \sup\limits_{n \geq N} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \int_{E} ~ f ~ dm \qquad \qquad \qquad\\ \implies \qquad \qquad \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \int_{E} ~ f ~ dm \qquad \qquad \qquad$$

由Fatou's Lemma：

$$\int_{E} ~ f ~ dm = \int_{E} ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} ~ f_{n} ~ dm \leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm$$

同时，显然有：

$$\liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm$$

因此：

$$\mathbf{\int_{E} ~ f ~ dm} = \int_{E} ~ \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} ~ f_{n} ~ dm \leq \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm \leq \mathbf{\int_{E} ~ f ~ dm}$$

所以：

$$\int_{E} ~ f ~ dm = \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm = \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm$$

因为当且仅当序列上极限等于下极限时，序列存在极限，且极限值等于上极限等于下极限，则证毕：

$$\int_{E} ~ f ~ dm = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm = \liminf\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm = \limsup\limits_{n\rightarrow \infty} \int_{E} ~ f_{n} ~ dm$$