实变函数（Real Analysis）

针对实数函数的分析理论

 

首先引入集合和映射的概念

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集合交，并，差。

集合的势：有限集，无限集（可列，不可列）

 

再考虑实数点集

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点集 { x | b < x < a } 被称为开区间

 

包含点x的开区间被称为点x的邻域

点集A的极限点的集合称为A的导集A'

集合A的闭包 $\bar{A}=A \cup A'$

 

集合内所有点都是内点的集合为开集

A=A的闭包，则A为闭集

开集性质：任意并，有限交仍然是开集σ

 

集合A中任意点都存在邻域在R中，则称A相对于R为稠密集

集合A中任意点，都是集类B中某个集合的内点，则称B为A的覆盖。若B中所有集合为开集合，则B为A的开覆盖

 

引入集合的环和域的概念

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注：由于测度一般是定义在σ-环上，或者σ-代数上（例如概率空间），因此先引入集合论中的环(ring)和代数(algebra)概念 （注：这里的代数也叫域）

集合X，以X的某些子集为元素组成的集合称为X上的集类，或者简称类，X称为基本空间。

集合X，R是X上的集类，如果 $E_1, E_2 \in R, \Rightarrow E_1 \cup E_2 \in R$, $E_1-E_2 \in R$，则R称为X上的环。

若$X \in R$，则R称为X上的域

即 环中元素的并、差运算封闭，域中元素的并、补运算封闭

若将环中元素的可列并封闭，则环为σ-环，对应的为σ-代数

 

包含集类E的最小环称为由集类E所张成的环，记为R(E)。

举例：

1，X是基本空间，R是X上的环，X的所有可以由R覆盖的子集组成一个X上的新的集类H(R)；（注：H(R)是σ-环）

2，集合X，X的所有有限子集组成环R，H(R)就是X的所有有限或者可列子集；

针对实数集

1，实数集上的所有左开右闭区间组成的集类为P（注：P不是环）；

2，P中有限个元素的和组成实数集上的环R₀；（注：R₀由P张成）

3，H(R₀)就是实数集的所有子集

 

 

 

 

先在环上定义测度

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环R上的集函数μ，满足非负性和可列可加性，则μ称为环R上的测度

 

定义集函数m，R₀中某一元素E的函数值为E初等分解后所有线段的长度之和，可以证明m为R₀上的测度