Random Variables

可测空间（Measurable Space）和测度空间（Measure Space）

集合X，X上的一个σ-algebra A，则（X，A）被称为可测空间（measurable space）

再在A上定义一个测度μ，则（X，A，μ）被称为测度空间（measure space）

概率空间（Probability Space）

对于一个测度空间$(\Omega, F, P)$,  其中$\Omega$被称为Sample Space，F被称为events，P为概率测度，其中P在整个Sample Space上的测度为1

 

可测函数（Measurable function）

Let $(X, \Sigma)$ and $(Y, T)$ be measurable spaces, meaning that $X$ and $Y$ are sets equipped with respective σ-algebra $\Sigma$ and $T$. A function $f\colon X \mapsto Y$ is said to be measurable if for every $E \in T$ the pre-image of $E$ under $f$ is in $\Sigma$; i.e.

$ f^{-1}(E)={x \in X \mid f(x) \in E } \in \Sigma$, $\forall E \in T$.

If $f\colon X \mapsto Y$ is a measurable function, we will write

$f \colon (X, \Sigma) \mapsto (Y, T)$.

to emphasize the dependency on the σ-algebras $\Sigma$ and $T$.

随机变量（Random Varible）

随机变量就是一个可测函数