线段树复习笔记

线段树（Segment Tree）复习笔记

By Chesium 2021/10/21

  • 线段树能够维护满足以下条件的区间问题：

\[f(l,r)=g[f(l,m),f(m+1,r)] \]

即区间 \([l,r]\) 的答案可以通过合并 \([l,m]\) 和 \([m+1,r]\) 的答案得到。
如这些可以：区间和、区间最大值。
如这些不行：区间众数、区间最长不下降子序列

  • 数组 \(d\) 长度开至 \(4n\) 即可。

  • 建树：递归思想

    • 时间复杂度：\(\mathrm{O}(n)\)
    • 参数：对应数组闭区间 \([s,t]\)，以及当前处理的 \(d\) 数组索引 \(p\)（ \(p\) 一开始是 \(1\)，不能为 \(0\)）
    1. 若 \(s=t\)，就不用再细分了，直接令 \(d[p]=a[s]\)，返回。
    2. 否则，则二分处理：令 \(m=s+((t-s)>\!\!>1)\) ，即为数组中间索引，将 \([s,t]\) 分成 \([s,m]\) 和 \([m+1,t]\) 两部分。分别建树，两者对应的索引 \(p\) 分别为 \(2p\) 和 \(2p+1\)
    3. 建完树后，我们便把上述两区间合并，形成当前正在建立的区间的值。

  • 单点修改：DFS

    • 时间复杂度：\(\mathrm{O}(\log n)\)
    • 参数：需更新元素索引 \(k\)，修改值 \(c\)，当前节点对应区间 \([s,t]\)，当前节点编号（\(d\) 数组索引）\(p\) 。
    1. 若 \(s=t\)，则当前区间中只有一个元素，肯定是我们要改的，直接修改 \(d[p]\)，返回。
    2. 计算出中位索引 \(m\)。
    3. 若 \(x\leq m\)，则说明修改值在 \([s,m]\) 中，否则在 \([m+1,t]\) 中，递归更新。
    4. 回溯时更新自己的值 \(d[p]\)。

  • 无更新查询：递归思想

    • 时间复杂度：\(\mathrm{O}(\log n)\)
    • 参数：查询区间 \([l,r]\)，当前节点对应区间 \([s,t]\)，当前节点编号（\(d\) 数组索引）\(p\) 。
      • 可以理解为求查询区间与当前节点区间交集的对应值
    1. 若 \(l\leq s\ \wedge\ t\leq r\)，即 \([s,t]\subseteq[l,r]\)，当前区间必是最终查询值的组成部分，称为查询区间的一个极大区间，直接返回自己的值 \(d[p]\)。
    2. 否则，二分为上面讲过的两区间 \([s,m]\) 和 \([m+1,t]\)，不改变 \([l,r]\)，进行查询。
      • 若 \(l\leq m\)，则 \([s,m]\cap[l,r]\neq\varnothing\) ，需要考虑，查询 \([s,m]\)。
      • 若 \(r>m\)，则 \([m+1,t]\cap[l,r]\neq\varnothing\) ，需要考虑，查询 \([m+1,t]\)。
    3. 回溯时合并区间即可。

  • 区间修改：懒惰标记

    • 时间复杂度：\(\mathrm{O}(\log n)\)
    • 目的：通过延迟对节点信息的更改，从而减少可能不必要的操作次数。
    • 参数：修改区间 \([l,r]\)，修改值 \(c\)，当前节点对应区间 \([s,t]\)，当前节点编号（\(d\) 数组索引）\(p\) 。
    1. 若 \(l\leq s\ \wedge\ t\leq r\)，即 \([s,t]\subseteq[l,r]\)，当前区间是修改区间的子集，肯定要改：修改 \(d[p]\)，添加标记 \(b[p]\)。（更新标记，某些操作为往上叠加（如增加），有些是覆盖（如赋值）），返回。
    2. 若有标记存在则进行标记下传（防止父区间的懒惰标记下传时覆盖子区间的懒惰标记）
    3. 类似上述的无更新查询，分别考虑二分后的两区间是否需要进行操作。
    4. 回溯时记得合并区间！

  • 标记下传

    • 时间复杂度：\(\mathrm{O}(1)\)
    • 参数：当前节点对应区间 \([s,t]\)，当前节点编号（\(d\) 数组索引）\(p\) 。
    1. 若无标记，则直接返回。
    2. 若 \(s=t\)，则标记无作用，也没有区间用于下传，直接返回。
    3. 求出 \(m\) ，根据区间范围修改 \(d[2p]\) 与 \(d[2p+1]\) 的值
    4. 更新子区间的懒惰标记 \(b[2p]\) 和 \(b[2p+1]\)
    5. 清除自身的懒惰标记。

  • 带修改区间查询

    • 时间复杂度：\(\mathrm{O}(\log n)\)
      基本同无修改版本，只不过在二分求解前进行一次标记下传。

  • 参考代码

#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
//---//
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

typedef unsigned int u;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long llu;

#define rep(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define REP(i, a, b) for (ll i = a; i <= b; i++)
#define per(i, b, a) for (ll i = b; i >= a; i--)

// P3372 【模板】线段树 1

#define get_mid ll m = s + ((t - s) >> 1)

const ll N = 1e5 + 10;

ll a[N], d[4 * N], b[4 * N];
bool lz[4 * N];

void build(ll s, ll t, ll p) {
  if (s == t) {
    d[p] = a[s];
    return;
  }
  get_mid;
  build(s, m, 2 * p);
  build(m + 1, t, 2 * p + 1);
  d[p] = d[2 * p] + d[2 * p + 1];
}

ll push_down(ll s, ll t, ll p) {
  get_mid;
  if (s == t || (!lz[p])) return m;
  b[2 * p] += b[p];
  b[2 * p + 1] += b[p];
  d[2 * p] += b[p] * (m - s + 1);
  d[2 * p + 1] += b[p] * (t - m);
  lz[2 * p] = true;
  lz[2 * p + 1] = true;
  b[p] = 0;
  lz[p] = false;
  return m;
}

void update(ll l, ll r, ll c, ll s, ll t, ll p) {
  if (l <= s && t <= r) {
    d[p] += (t - s + 1) * c;
    b[p] += c;
    lz[p] = true;
    return;
  }
  ll m = push_down(s, t, p);
  if (l <= m) update(l, r, c, s, m, 2 * p);
  if (r > m) update(l, r, c, m + 1, t, 2 * p + 1);
  d[p] = d[2 * p] + d[2 * p + 1];
}

ll query(ll l, ll r, ll s, ll t, ll p) {
  if (l <= s && t <= r) {
    return d[p];
  }
  ll sum = 0, m = push_down(s, t, p);
  if (l <= m) sum += query(l, r, s, m, 2 * p);
  if (r > m) sum += query(l, r, m + 1, t, 2 * p + 1);
  return sum;
}

signed main() {
  ll n, m, t, l, r, k;
  scanf("%lld%lld", &n, &m);
  REP(i, 1, n) scanf("%lld", &a[i]);
  build(1, n, 1);
  while (m--) {
    scanf("%lld%lld%lld", &t, &l, &r);
    if (t == 1) {
      scanf("%lld", &k);
      update(l, r, k, 1, n, 1);
    } else
      printf("%lld\n", query(l, r, 1, n, 1));
  }
}

// https://www.luogu.com.cn/record/60473191
  • P3373 【模板】线段树 2 - 洛谷这道题中有两种区间修改操作：加法和乘法，我们需要两个懒惰标记来分别记录它们。
    标记下传中应该先乘后加：
    如将序列先 \(+k\)，再 \(\times m\) ，再 \(+t\)，则新的元素和应为：

\[\mathtt{sum'}=\sum_{i=l}^rm(a_i+k)+t=(r-l+1)\underbrace{(mk+t)}_\mathtt{add}+\underbrace{m}_\mathtt{mul}\sum_{i=l}^ra_i=\mathtt{len*add+mul*sum} \]

由于 \(\mathtt{add}=mk+t\)，所以将序列 \(\times m\) 时应将 \(\mathtt{add}\) 值也 \(\times m\) 。

  • 参考代码：
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
//---//
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

typedef unsigned int u;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long llu;

#define rep(i, a, b) for (ll i = a; i < b; i++)
#define REP(i, a, b) for (ll i = a; i <= b; i++)
#define per(i, b, a) for (ll i = b; i >= a; i--)

// P3372 【模板】线段树 2

#define get_mid ll m = s + ((t - s) >> 1)

const ll N = 1e5 + 10;

ll mod, a[N], d[4 * N], add[4 * N], mul[4 * N];
bool lz[4 * N];

void build(ll s, ll t, ll p) {
  mul[p] = 1;
  if (s == t) {
    d[p] = a[s];
    return;
  }
  get_mid;
  build(s, m, 2 * p);
  build(m + 1, t, 2 * p + 1);
  d[p] = (d[2 * p] + d[2 * p + 1]) % mod;
}

ll push_down(ll s, ll t, ll p) {
  get_mid;
  if (s == t || (!lz[p])) return m;
  d[2 * p] = (add[p] * (m - s + 1) % mod + d[2 * p] * mul[p] % mod) % mod;
  d[2 * p + 1] = (add[p] * (t - m) % mod + d[2 * p + 1] * mul[p] % mod) % mod;
  add[2 * p] = (add[2 * p] * mul[p] % mod + add[p]) % mod;
  add[2 * p + 1] = (add[2 * p + 1] * mul[p] % mod + add[p]) % mod;
  mul[2 * p] = mul[2 * p] * mul[p] % mod;
  mul[2 * p + 1] = mul[2 * p + 1] * mul[p] % mod;
  lz[2 * p] = true;
  lz[2 * p + 1] = true;
  add[p] = 0;
  mul[p] = 1;
  lz[p] = false;
  return m;
}

void update_add(ll l, ll r, ll c, ll s, ll t, ll p) {
  if (l <= s && t <= r) {
    d[p] = ((t - s + 1) * c % mod + d[p]) % mod;
    add[p] = (c + add[p]) % mod;
    lz[p] = true;
    return;
  }
  ll m = push_down(s, t, p);
  if (l <= m) update_add(l, r, c, s, m, 2 * p);
  if (r > m) update_add(l, r, c, m + 1, t, 2 * p + 1);
  d[p] = (d[2 * p] + d[2 * p + 1]) % mod;
}

void update_mul(ll l, ll r, ll c, ll s, ll t, ll p) {
  if (l <= s && t <= r) {
    d[p] = d[p] * c % mod;
    add[p] = add[p] * c % mod;
    mul[p] = (mul[p] * c) % mod;
    lz[p] = true;
    return;
  }
  ll m = push_down(s, t, p);
  if (l <= m) update_mul(l, r, c, s, m, 2 * p);
  if (r > m) update_mul(l, r, c, m + 1, t, 2 * p + 1);
  d[p] = (d[2 * p] + d[2 * p + 1]) % mod;
}

ll query(ll l, ll r, ll s, ll t, ll p) {
  if (l <= s && t <= r) return d[p];
  ll sum = 0, m = push_down(s, t, p);
  if (l <= m) sum = (sum + query(l, r, s, m, 2 * p)) % mod;
  if (r > m) sum = (sum + query(l, r, m + 1, t, 2 * p + 1)) % mod;
  return sum;
}

signed main() {
  ll n, m, t, l, r, k;
  scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &mod);
  REP(i, 1, n) scanf("%lld", &a[i]);
  build(1, n, 1);
  while (m--) {
    scanf("%lld%lld%lld", &t, &l, &r);
    switch (t) {
      case 1:
        scanf("%lld", &k);
        update_mul(l, r, k, 1, n, 1);
        break;
      case 2:
        scanf("%lld", &k);
        update_add(l, r, k, 1, n, 1);
        break;
      case 3:
        printf("%lld\n", query(l, r, 1, n, 1));
        break;
    }
  }
}

// https://www.luogu.com.cn/record/60476253
posted @ 2021-10-21 11:56  chesium  阅读(80)  评论(0)  编辑  收藏  举报