高数--无穷级数

几种基本级数

\(\bigstar\)几何级数

\(\sum_{i=0}^n a*q^i\) a!=0 q叫做公比

注意这里i一定可以从1...开始|只是最后a变成a*q^i

• |q|=1 时 原式=a*n 发散
• |q|<1 时 原式=\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a}{q-1}-\frac{q^n}{q-1}=\frac{a}{q-1}\)收敛
• |q|>1时 原式极限不为零，发散

\(\bigstar\) 调和级数 \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\)

调和级数是发散的不用多讲

\(\bigstar\) 不知道叫什么..\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^a}\)

• 当 q<=1 时 发散

• q>1 时收敛

  这个证明可以根据比较审敛法和后面的幂级数和的性质证明

级数基本运算性质

• 收敛*k仍收敛
• 收敛+收敛=收敛 收敛+发散=发散 但是发散+发散不确定
• 若$\sum_{n=1}^{\infty} u_n=s \sum_{n=1}^{\infty} v_n=\sigma\quad则 \sum_{n=1}^{\infty} u_n+v_n=s+\sigma $
• 收敛级数加若干括号仍收敛，但是反之不成立(加括号收敛推不出原级数收敛)

普通级数的各种定理

常数项级数收敛的条件

• 充要条件

  \(令s_n=\sum_{n=1}^{\infty}u_n\\  \lim_{n\rightarrow\infty}s_n=s \leftrightarrow s_n收敛\leftrightarrow常数项级数收敛\)

• 必要条件

  \(\lim_{n\rightarrow\infty}u_n=0\)

正向级数的审敛定理

比较审敛法

若 \(u_n<v_n 若级数v_n 收敛则u_n收敛 若u_n发散则v_n发散\)

\(\bigstar\) 通常用比较审敛法的极限形式

• $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{u_n}{v_n}=l $

  当\(0\le l <\infty\)时 若v_n收敛则u_n收敛

  当\(0<l<=\infty\)时 v_n发散则u_n发散

等价无穷小级数可以等价应该也是根据这个定理来的

若 \(u_n \Leftrightarrow v_n \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{u_n}{v_n}=1所以同时满足上面两个条件，所有有相同的敛散性\)

比值审敛法

\(\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\)

若\(\rho=1\) 则此方法不能用

若\(\rho<1\) 则u_n 级数收敛

若\(\rho>1\) 则级数发散

根值审敛法

简单来说就是开根号

\(\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]u_n=\rho\)

结论同上

极限审敛法

就是比值审敛法+幂级数的敛散性判定而已

交错级数审敛定理

形如\(\lim_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n}*u_n\)为交错级数

莱布尼兹定理

• 数列u_n单减

• 极限为0

  则收敛

绝对收敛和条件收敛

通常判定方法

若|u_n| 收敛则u_n必定收敛

若 u_n收敛而|u_n|不收敛则称u_n条件收敛

通常结合交错级数来出题大概

幂级数

形如\(\sum_{n=0}^{\infty} a*(x-x_0)^n\)叫幂级数

一般\(x_0=0\)

阿贝尔定理|推论

若幂级数不仅不在0这收敛但也不是在整个数轴上收敛则必有一个确定的x=R存在

• 当|x|<R 幂级数绝对收敛
• 当|x|>R 幂级数发散
• |x|=R 散敛性不确定

R叫做收敛半径，开区间（-R,R）为收敛区间

收敛域则是要先判断x=+-R时是否收敛然后再并上开区间

重要定理

若\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n*x^n\)的系数满足\(\lim_{n\rightarrow\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho\)

• \(\rho!=0\quad R=\frac{1}{\rho}\)
• \(\rho=0\quad R=\infty\)
• $ \rho=\infty R=0$

这个是根据比值定理来证的，所以比值审敛法才是这个定理的核心

如果x_0!=0最后比值留下的可能是k(x-x_0) 但是R=1/k;（可视为t=x-x_0 换元了）

但是收敛区间还是x元的区间
如果是更复杂的换元，比如t=(x-1)^2/2 若|t|<Y 则需 ==> |x-1|<R 这个R才是收敛域

和函数

如果傅里叶展开的和函数感觉就是fx

\(s(x)=\sum_{n\rightarrow\infty} a_n*x^n\) 则s(x)为幂级数的和函数|这里x是自己定的，题目可能就是一个常数

和函数在收敛区间可导，且都具有相同的收敛半径（收敛域不一定相同）<==> 和函数在收敛区间内有任意阶导数

通常结合积分来使用

求和函数一定要先求出收敛区间

几种函数的幂级数展开

\(e^x=\sum_{n=0}^{n=\infty} \frac{x^n}{n!}\quad -\infty<x<+\infty\)

\(sinx=\sum_{k=0}^{k=\infty} (-1)^k*\frac{x^(2*k+1)}{(2*k+1)!}\quad -\infty<x<+\infty\)

\(cosx=(sinx)' \quad -\infty<x<+\infty\)

\(\frac{1}{x+1}=\sum_{n=0}^{n=\infty} (-1)^n*x^n \quad -1<x<1\)

\(ln(x+1)=\int\frac{1}{x+1} \quad -1<x<=1\)

关键的其实是收敛域

通常有阶乘都是往e^x上面靠

有n次幂都是往 1/1+x 上面靠，

如果都有，优先e^x

傅里叶级数

直接上任意周期的吧，毕竟2*\(\pi\)一般周期的特殊情况

若周期为2l的周期函数f(x)这里fx是关于y轴对称的满足收敛定理的条件，他的傅里叶展开形式为

\(f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n*cos\frac{n\pi x}{l}+b_n*sin\frac{n\pi x}{l} \quad x\in c\)

$a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)*cosxdx $

\(b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)sinxdx\)

• \(f(x)为奇函数时\)

  \(a_n=0,b_n=\frac{2}{l}\int_{-l}^{l}f(x)*sinxdx\)

• \(f(x)为偶函数时\)

  \(a_n=\frac{2}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cosxdx,b_n=0\)

若f(x)不是周期函数，可以先进行奇偶延拓，再进行周期延拓，得到一个周期函数，然后再展开

但是注意一定要写上x的范围