离散数学--第八章 函数

函数的定义|各种函数

函数定义这就没什么好说的了吧

正规点就是：

设F为二元关系，若对任意的x∈ dom F都存在唯一的y∈ran F，使得x F y成立，则F为函数，y是F在x的函数值

**若集合A有n个元素，集合B有m个元素则A->B的函数个数有 \(n^m\) **

单射函数

若对于任何\(x_1\), \(x_2\)∈A ，x_1≠x_2都有 f(\(x_1\)) ≠ f(\(x_2\)) 则说f具有单射性（即一个y不对应两个x）

满射函数

如果ran f=B则说明是满射函数（即值域全都能取到）

双射函数

如果f既具有满射性也具有单射性则说f具有双射性

双射函数才有反函数

恒等函数

A上的恒等关系 \(I_A\)称为A上的恒等函数==> \(I_A\)(x)=x

特征函数

其实对每一次A的子集都有特征函数定义为：

$ X_A(a)=\begin{cases}1,x \in A^,(a属于A的子集)\\ 0,x \in A-A^,(a不属于A的子集)\end{cases}$

反函数

再强调一遍双射函数才有反函数

记为；\(f^{-1}\)

函数的复合

其实注意一下先后顺序就没什么了

复合的结合率

(f og) o h=f o(g o h)

函数的复合不改变函数的单射，双射，满射性

若 f 是A->B的函数

\(f^{-1}*f=f*f^{-1}=I_A\)

集合的基数

基数

有限集合的基数简单来说就是集合的元素个数....（记作|A|）

• f是满射的，则 |A|≥|B|；

• f是单射的，则 |A|≤|B|； A ≤. B (B优势于A )

• f为双射的，则 |A|＝|B|。 A≈B

• f是单射的，且不存在A到B的双射，则|A|＜|B|

证明集合的势|基数相同时一般都构造双射函数

例如：

**证明 (0,1) ≈ R **

证明：构造(0,1)到R的双射函数。

• f: (0,1) →（-π/2, π/2),f(x)= π(x- 1/2)，显然f为双射

• g: (-π/2, π/2) →R,g(x)= tan x ，显然g为双射

• 于是f∘g : (0,1) → (π/2, π/2) , f∘g (x)=g(f(x)=tan π(x- 1/2) ，也是双射函数

故： (0,1) ≈ R

由此可见无限集合的基数与它真子集相等

这是有限集合和无限集合的本质区别

第一次用markdown好累啊