离散数学--十一章 格与布尔代数
格的定义与性质:
偏序集
简单来说就是集合A中有自反,反自反,传递的关系
具体可以看第七章
我们结合Hasse图看如下关系:
假如 A={1,2,3,6,12,24,36} 且有如下关系
如果:B={2,3,6}
最大|小元
定义:
y是B的最大元⇔∃y∈B∧∀x(x∈B→x≤y)
最大|小元是唯一的(类比函数的最值)
而极大|小元不唯一
B最大元6 ,最小元无
B中Hasse图的最底(顶)层,且这一层只有一个点才能是最小(大)元
极大|小元
定义:
y是B的极小元⇔∃y∈B∧¬∃x(x∈B∧x≤y)
y是B的极大元⇔∃y∈B∧¬∃x(x∈B∧y≤x)
这里面B的极小元是 {2,3},极大元是 {6}
B中Hasse图的最底(顶)层,则是极小(大)元
上下界
定义:
y是B的上界⇔∃y∈A∧∀x(x∈B→x≤y)
比如 B上界 {12,24,36} 下界 {1}
Hasse图中B的最底(顶)层,包括这一层和这一层下面(上面)的所有元素构成的集合则是下(上)界
确界
定义:
B的上确界(最小上界)下确界(最大下界)就是上界的min,下界的max
结合Hasse 图理解
若B={2,3,6} 有如上图的关系
格
讲这么多终于到格的定义了
其实只要一个偏序集中任意子集都有上下确界就是格了莫名很简洁
暗示判断格要疯狂枚举
格诱导的代数系统
交并运算
就是用符号定义了上下确界而已
各种格
分配格
如果交并还满足分配率就叫分配格
有界格
如果B是A时仍有上下确界 则此时的格为有界格,这个确界分别称为全上|下界
一般将全上界记为1 ,全下界记为0,一般将有界格L记为<L,∧,∨,0,1>.
界, a1∨a2∨…∨an是L的全上界.
零元,∧运算的单位元.
有补格
有补元的格称为有补格a∧b = 0 和 a∨b = 1成立, 则称b是a的补元
在任何有界格中, 全下界0与全上界1互补
对于一般元素, 可能存在补元, 也可能不存在补元. 如果
存在补元, 可能是惟一的, 也可能是多个补元.
对于有界分配格, 如果元素存在补元, 一定是惟一的
子群格
没有特别懂
对一个群先找出它的所有子群
比如Z12 <0>,<1>,<2>,<3> ,<6>就是所有子群|也满足格的定义?也是子格
然后再画所有子群(子格)的Hasse图就行了
布尔代数
本质上就是一个集合
如果一个格是有补分配格, 则称
它为布尔格或布尔代数. 布尔代数标记为
<B,∧,∨,′, 0, 1>, ′为求补运算
这里面的 ' 的运算规律相当于 ‘否’
(a' )' =a
∀a,b∈B, (a∧b)′ = a′∨b′, (a∨b) ′= a′∧b′
(0∧b)∨(a∧0) = 0∨0 = 0
(1∨b′)∧(a′∨1) = 1∧1 = 1
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