由黑球白球问题相到的

一个袋子里有100个黑球和100个白球，每次从袋子里面取出两个球扔掉，

规则如下：如果取出的两个球颜色相同则放入袋中一个黑球，不同则放入一个白球。

例如：从袋子中取出一白一黑两个球，那么则将这两个球扔掉，然后重新放回袋子中一个白球。如果取出两个白球，则放回一个黑球。

问题：最后剩余的一个球的颜色是黑色还是白色？

出自《编程之美》

思路：

1.问题抽象：

相同为黑，不同为白，您能想到某种计算机位操作吗？

异或，好吧，我没有想到。设白球为1，黑球为0，那么取球的规则就被简化为对100个0和100个1做无序的异或操作。

假如您只知道异或操作的性质想必您一定知道了答案。

不知道也没有关系

2.问题归纳简化

1)假设袋子中只有一白一黑两个球：那么1^0=1 , 即剩下一个白球

2)假设有两个白球两个黑球：1^0^1^0=0 , 0^0^1^1=0, ...,发现怎样组合都可以，你是不是想起异或操作是否满足交换律与结合率，赶紧在纸上画画，发现果然如此。

...

如果操作满足结合率和交换律，那么说明这些100个0和100个1做异或操作的顺序无论如何变都一样。

下面有两种思路，

逆向：既然可以随意组合，那么组合成这样：(0^0^...^0)[100]^(1^1^...^1)[100]，很容易看出，前面括号里的一大堆0做异或操作都是0。后面的一堆1可能比较棘手。好吧，继续归纳简化：

1^1=0,

1^1^1=1,

1^1^1^1=0

...难道与奇偶有关系？奇数个1做异或都为1，偶数个则为0，能用归纳法给出证明吗？很简单，不说了

我们的问题从(0^0^...^0)[100]^(1^1^...^1)[100] 简化为 0^0=0.

好吧，给出结论：无论您手多高多牛，最后剩下的一定是“0”代表的黑球。

异或的还有一个用途：不用中间值的交换a和b的算法

void swap(int& a , int& b)

{

    a=a^b;

    b=a^b;

    a=a^b;

}

它利用了异或操作的一个性质：

a^b^b=a

a^b^a=b