钢条切割问题

问题描述： \(Serling\)公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。不同的切割方案，收益是不同的，怎么切割才能有最大的收益呢？

• 假设切割工序本身没有成本支出

  假定出售一段长度为\(i\)英寸的钢条的价格为\(p_i(i = 1 , 2 , ...)\) ，给定以下价格表：

  length \(i\)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  price \(p_i\)	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

  比较明显的完全背包问题，我们定义状态\(f_i\)表示使用容量为\(i\)的背包能获得的最大的价值，它可以由所有长度小于等于\(i\)的钢条转移而来，即转移方程可表示为

  \[f_i = max(f_i , f_{i - length_j} + p_j)\; \forall 1 \leq j \leq 10 \]

  参考代码：

  const int N = 2e5 + 5;
  int length[N], p[N];
  int f[N], n, m;//n种长度的钢条及其价格 钢条总长为m
  void solve() {
  	cin >> n >> m;
  	for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> length[i] >> p[i];
  	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
  		for (int j = length[i]; j <= m; ++j)
  			f[j] = max(f[j], f[j - length[i]] + p[i]);
  	}
  	cout << f[m] << '\n';
  	return;
  }
  

• 切割工序有成本支出

  假设成本为\(c\)，则只需要对所有的\(p_i \; \forall 1 \leq i \leq n\)都减去\(c\)作为新的\(p_i\)，再跑一遍上述程序即可求得答案。