第6章 图的学习总结（邻接矩阵&邻接表）
我觉得图这一章的学习内容更有难度，其实图可以说是树结构更为普通的表现形式，它的每个元素都可以与多个元素之间相关联，所以结构比树更复杂，然而越复杂的数据结构在现实中用途就越大了，功能与用途密切联系，所以，图结构非常重要，学习起来也是有点难度的，在于图的存储结构和逻辑结构，以及它与其他辅助数据结构相结合（链表，队列等），这需要很清晰的逻辑思维，才能把知识贯通。
这么重要的图，它的特别重要应用（最小生成树、最短路径、拓扑排序、关键路径），还有这些应用中一些著名算法，图的这章内容的丰富，让我大开眼界！
学习图最基础的内容，也是实现其他操作最基础、最关键的部分，就是图的存储结构，图的遍历。这里我准备总结一下在做题目时候对邻接矩阵、邻接表，深度优先搜索遍历、广度优先搜索遍历的理解，而对于应用的各种算法，还需要继续学习，才有更深刻的理解。
PTA上题目：列出连通集
给定一个有N个顶点和E条边的无向图，请用DFS和BFS分别列出其所有的连通集。假设顶点从0到N−1编号。进行搜索时，假设我们总是从编号最小的顶点出发，按编号递增的顺序访问邻接点。
输入格式:
输入第1行给出2个整数N(0<N≤10)和E，分别是图的顶点数和边数。随后E行，每行给出一条边的两个端点。每行中的数字之间用1空格分隔。
输出格式:
按照 “ { v1, v2, v3, ... ,vk } ”的格式，每行输出一个连通集。先输出DFS的结果，再输出BFS的结果。
输入样例: 输出样例:
8 6 { 0 1 4 2 7 }
0 7 { 3 5 }
0 1 { 6 }
2 0 { 0 1 2 7 4 }
4 1 { 3 5 }
2 4 { 6 }
3 5 跟据这道题题意，可明显以看出用邻接矩阵的存储结构较容易，而且输入中没有顶点名，直接用数组下标就可以，所以存储输入数据还是比较简单实现的，下面是邻接矩阵存储定义：
typedef int ArcType; //边 type char VerTexType;//顶点名字，这道题不需要用到 typedef struct { VerTexType vexs[100];//顶点表 ArcType arcs[100][100];//邻接矩阵 int vexnum,arcnum;//顶点数和边数 }AMGraph;
接下来创建无向图：
void create(AMGraph &G)//邻接矩阵建立无向图 { int i,j,k; int x,y; cin>>G.vexnum>>G.arcnum; for(i=0;i<G.vexnum;i++)//初始化矩阵元素值为0 { for(j=0;j<G.arcnum;j++) G.arcs[i][j]=0; } for(k=0;k<G.arcnum;k++)//输入一条边的两个端点 { cin>>x>>y; G.arcs[x][y]=1;//并将对应矩阵中元素值置1,表示此两点间存在边 G.arcs[y][x]=1;//无向图的矩阵为对称的 } }
因为题目的特殊性，找顶点对应的下标的LocateVex函数就省去了，直接用输入数据，所以简单很多。继续是图的遍历，先DFS算法，对于非连通图，需要两个函数来完成图的遍历，刚好这道题目也是输入连通分量，DFSAM函数是对一个连通分量的遍历，DFS是对整个图，有几个连通分量就调用几次DFSAM：
void DFSAM(AMGraph G,int v)//一个连通分量的深度优先搜索遍历 { int w; cout<<v<<" ";visit[v]=true;//输出第一个点，同时记录已经访问过 for(w=0;w<G.vexnum;w++) { if(G.arcs[v][w]!=0&&(!visit[w])) DFSAM(G,w);//对尚未访问过且与上一个顶点间存在边的顶点递归调用 } } void DFS(AMGraph G)//非连通图的深度优先搜索遍历 { int v; for(v=0;v<G.vexnum;v++) visit[v]=false;//标记数组初始化 for(v=0;v<G.vexnum;v++) { if(!visit[v])//对于未访问的顶点调用DFSAMG函数 { cout<<"{ "; DFSAM(G,v); cout<<"}"<<'\n'; } } }
继续是广度优先搜索遍历（BFS），感觉相对于DFS在算法上更难一点，需要借助队列的存储结构来完成，这跟上一章树的层次遍历差不多。上课时候讨论过有两种方法可以实现，一是先将顶点入队，再访问；二是先访问顶点，再入队，后者更优，它避免了将已经访问过的顶点进行多余的入队操作。
void BFSAM(AMGraph G,int v)//一个连通分量的广度优先搜索遍历 { queue<int> q; int w,x; cout<<v<<" ";//采用先访问再入队方法 q.push(v); visit[v]=true;//入队第一个点，同时记录已经访问过 while(!q.empty())//循环下面操作，直到队空 { x=q.front();//记录此时队头顶点，再出队 q.pop(); for(w=0;w<G.vexnum;w++)//遍历查找邻接点 { if(G.arcs[x][w]!=0&&(!visit[w]))//若两点间有边且未访问 { cout<<w<<" "; //输入此顶点 visit[w]=true;//标记已经访问过 q.push(w);//将此点入队 } } } } void BFS(AMGraph G)//非连通图的深广度优先搜索遍历 { int v; for(v=0;v<G.vexnum;v++) visit[v]=false; for(v=0;v<G.vexnum;v++) { if(!visit[v])//对于未访问的顶点调用DFSALG函数 { cout<<"{ "; BFSAM(G,v); cout<<"}"<<'\n'; } } }
对于上面邻接矩阵查找顶点的下一个邻接点和判断是否有边存在，是通过遍历所有顶点和一个if语句完成，而在邻接表中，这一步操作就不一样了。
邻接矩阵比较熟悉，容易操作，但它适合用在稠密图，空间复杂度高O（n2），稀疏图中尤其浪费空间，所以有时需要采用邻接表。因此，这道题我准备试一下用邻接表，顺便加深一下对算法的理解。邻接表存储结构的定义复杂许多，如下：
typedef struct Arcnode { int ad;//顶点所在位置（下标） struct Arcnode *next;//指向下一条边的指针 }Arcnode; typedef struct Vnode//顶点信息（表） { Arcnode *first; }Vnode,Al[100]; typedef struct//邻接表 { Al ver;//顶点数组 int vexnum,arcnum;//顶点数和边数 }ALGraph;
表头结点和边结点：
然后创建无向图就是对每个指针指向的操作：
void create(ALGraph &G) { int i,j,k,x,y; Arcnode *p,*p1; cin>>G.vexnum>>G.arcnum; for(i=0;i<G.vexnum;i++) G.ver[i].first=NULL; for(k=0;k<G.arcnum;k++)//输入一条边的两个端点 { cin>>x>>y; p=new Arcnode;//无向图的两点互相指向对方 p->ad=y;p->next=G.ver[x].first;G.ver[x].first=p; p1=new Arcnode; p1->ad=x;p1->next=G.ver[y].first;G.ver[y].first=p1; } }
开始我在新结点那里出错，出现很奇怪的结果，链式结构的存储确实很容易出现小错误，接着在DFSAL中跟矩阵判断条件有所不同，需要一个指针指向起始位置，在while循环里还有修改指针指向：
void DFSAL(ALGraph G,int v)//一个连通分量的深度优先搜索遍历 { int w; cout<<v<<" ";visit[v]=true; Arcnode *p2; p2=new Arcnode; //输出第一个点，同时记录已经访问过 p2=G.ver[v].first; while(p2) { w=p2->ad; if(!visit[w]) DFSAL(G,w);//对尚未访问过且与上一个顶点间存在边的顶点递归调用 p2=p2->next; } }
邻接表的BFS算法操作有点难，我在这里卡了，出现许多错误，这里有队列，有链表，在判断和指针操作有些问题，开始问题出现有：没有定义指针变量指向访问顶点；在while循环之后未修改指针指向，导致死循环；再修改错误过程中，忘记将元素出队还有出队位置不对，运行出错。经过一波修改，最后终于成功了
void BFSAL(ALGraph G,int v)//一个连通分量的广度优先搜索遍历 { queue<int> q; int w,x; cout<<v<<" ";//采用先访问再入队方法 q.push(v); visit[v]=true;//入队第一个点，同时记录已经访问过 while(!q.empty())//循环下面操作，直到队空 { x=q.front();//记录此时队头顶点，再出队 Arcnode *p3; p3=new Arcnode; p3=G.ver[x].first; q.pop(); while(p3) { w=p3->ad; if(!visit[w])//若两点间有边且未访问 { cout<<w<<" "; //输入此顶点 visit[w]=true;//标记已经访问过 q.push(w);//将此点入队 } p3=p3->next; } } }
然后又发现一个问题，整个程序运行没有问题，但是与题目输出结果在第一个连通分量顺序不同，那究竟在哪有错误，我仔细看了一遍，画一下创建邻接表时候每个点的关系，最后发现是因为存储结构不同，就链表来说，这个创建的时候是前插法，输出顺序与输入顺序有关系，这道题要求“从编号最小的顶点出发，按编号递增的顺序访问邻接点”，就仅限于用邻接矩阵方法实现。
但在这个过程中发现问题，解决问题，更明白许多，特别对不太熟悉的邻接表方法，有更深的理解。下面是完整代码，虽然暂时不适应解决这道题，但以后可能要用到这种思想。
#include<iostream> #include<queue> using namespace std; bool visit[100];//访问标记数组 typedef int ArcType; //边 typedef struct Arcnode { int ad; struct Arcnode *next; }Arcnode; typedef struct Vnode { Arcnode *first; }Vnode,Al[100]; typedef struct { Al ver; int vexnum,arcnum; }ALGraph; void create(ALGraph &G) { int i,j,k,x,y; Arcnode *p,*p1; cin>>G.vexnum>>G.arcnum; for(i=0;i<G.vexnum;i++) G.ver[i].first=NULL; for(k=0;k<G.arcnum;k++)//输入一条边的两个端点 { cin>>x>>y; p=new Arcnode; p->ad=y;p->next=G.ver[x].first;G.ver[x].first=p; p1=new Arcnode; p1->ad=x;p1->next=G.ver[y].first;G.ver[y].first=p1; } } void DFSAL(ALGraph G,int v)//一个连通分量的深度优先搜索遍历 { int w; cout<<v<<" ";visit[v]=true; Arcnode *p2; p2=new Arcnode; //输出第一个点，同时记录已经访问过 p2=G.ver[v].first; while(p2) { w=p2->ad; if(!visit[w]) DFSAL(G,w);//对尚未访问过且与上一个顶点间存在边的顶点递归调用 p2=p2->next; } } void DFS(ALGraph G)//非连通图的深度优先搜索遍历 { int v; for(v=0;v<G.vexnum;v++) visit[v]=false;//标记数组初始化 for(v=0;v<G.vexnum;v++) { if(!visit[v])//对于未访问的顶点调用DFSAMG函数 { cout<<"{ "; DFSAL(G,v); cout<<"}"<<'\n'; } } } void BFSAL(ALGraph G,int v)//一个连通分量的广度优先搜索遍历 { queue<int> q; int w,x; cout<<v<<" ";//采用先访问再入队方法 q.push(v); visit[v]=true;//入队第一个点，同时记录已经访问过 while(!q.empty())//循环下面操作，直到队空 { x=q.front();//记录此时队头顶点，再出队 Arcnode *p3; p3=new Arcnode; p3=G.ver[x].first; q.pop(); while(p3) { w=p3->ad; if(!visit[w])//若两点间有边且未访问 { cout<<w<<" "; //输入此顶点 visit[w]=true;//标记已经访问过 q.push(w);//将此点入队 } p3=p3->next; } } } void BFS(ALGraph G)//非连通图的深度优先搜索遍历 { int v; for(v=0;v<G.vexnum;v++) visit[v]=false;//标记数组初始化 for(v=0;v<G.vexnum;v++) { if(!visit[v])//对于未访问的顶点调用DFSAMG函数 { cout<<"{ "; BFSAL(G,v); cout<<"}"<<'\n'; } } } int main() { ALGraph g; create(g); DFS(g); BFS(g); return 0; }
这一章还有很多需要学习，这里只是对图的理解和最基础的的操作，后面许多算法还只停留在理解，实际应用还实现不了，接下来需要对图的应用那部分内容有更多的学习和探索。
