【字符串匹配】KMP

2024-8-28 ·最后更新时间 2024-8-28

1,Recommendation
Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法,简称为KMP算法,常用于在一个文本串 S 内查找另一个文本 P 的出现位置,因为时间复杂度优异而被广泛使用。

这个算法由 Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris 三人于 1977 年联合发表,故取这 3 人的姓氏命名此算法。

2,Prefix function
在正式学习 KMP 算法之前我们要对前缀函数有一定的了解。
比如给你一个字符串:S=ABADABA
那么前缀后缀相同时的最长长度是多少?很显然一定 3 ABADABA
那么在数学中我们就会给这种形式的数值常用 π 来表示。
那么我们如果把所有 S 的前缀给列出来,并且对与每个前缀都求出对应的 π 那么就形成了前缀函数,如:

i 1 2 3 4 5 6 7
S A AB ABA ABAD ABADA ABADAB ABADABA
π 0 0 1 0 1 2 3

这就是我们的前缀函数,但是...它和 KMP 有什么关系呢?

3,KMP
接下来我就要根据前缀函数来推演出 KMP 算法。
假设文本串 S=EACEEABC,模式串 P=EAB
考虑什么时候 P 可以匹配上 S 的字串。
我们可以这样,先用一个奇妙字符给他们衔接起来就变成了 EAB#EACEEABC
然后我们就可以轻而易举地根据前缀函数得知,当且仅当 πi=len(P) 的时候才可以匹配上。
我们可以浅浅证明一下,因为前缀函数的定义就是到了 iπi 为前缀后缀相同时的最长长度,因为有特殊符号所以 max{πi}=len(P) 所以 P 匹配上时,πi=len(P)

S

那么接下来的问题就是如何求 πi 了。
我们可以把字符串想象成一些点,那么就变成了:

那么如果我们现在知道 πi1 的数值的话:

那么轻而易举地我们可以知道当 Sπi1+1Si 相等时 πi=πi1+1,于是我们可以写出一个不完整的代码:

for(int i=1;i<=s.size();++i){
  int len=pi[i-1];
  if(s[i]==s[len]){
    pi[i]=len+1;
  }
}

BUT 不相等怎么办?那我们是不是尽量考虑次小的 πi?那我们是不是又可以写出一个代码:

for(int i=1;i<=s.size();++i){
  int len=pi[i-1];
  while(s[i]!=s[len]){
    len=next_pi(i-1);
  }
  if(s[i]==s[len]){
    pi[i]=len+1;
  }
}

接下来我们就要解决 next_pi(x) 这个函数怎么求,我们可以再画一个图:

别问为什么图变了,如果我们仔细观察 πi1πi1 的关系我们可以发现,[0,πi1] 这段字符串本质上是 [0πi1] 的一段后缀,又根据前缀函数可知,[iπi1i1] 一定是与 [0πi1] 相等的,所以 [0πi1] 是等于 [0πi1] 的后缀的!也就是 πi1 是等同于 πpii1 的所以我们终于可以把代码补全了qwq:

for(int i=1;i<=s.size();++i){
  int len=pi[i-1];
  while(len&&s[i]!=s[len]){
    len=pi[len-1];
  }
  if(s[i]==s[len]){
    pi[i]=len+1;
  }
}

那么,如果你完完整整的看完了这篇博客,你可能会觉得这和你印象中的 KMP 不太一样,但是如果你把到 # 之前的和之后的单独拆开你会发现这就变成了你熟悉的 KMP,但这也表示着重要的一点,你需要点赞,收藏,关注我qwq。

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