【字符串匹配】KMP

2024-8-28 ·最后更新时间 2024-8-28

$\mathcal{1}\mathcal{,}\mathcal{Recommendation}$
Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为KMP算法，常用于在一个文本串 S 内查找另一个文本 P 的出现位置，因为时间复杂度优异而被广泛使用。

这个算法由 Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris 三人于 1977 年联合发表，故取这 3 人的姓氏命名此算法。

$\mathcal{2}\mathcal{,}\mathcal{Prefix}\mathcal{function}$
在正式学习 KMP 算法之前我们要对前缀函数有一定的了解。
比如给你一个字符串：$S=ABADABA$ 。
那么前缀后缀相同时的最长长度是多少？很显然一定 $3$ $ABA$$D$$ABA$。
那么在数学中我们就会给这种形式的数值常用 $\pi$ 来表示。
那么我们如果把所有 $S$ 的前缀给列出来，并且对与每个前缀都求出对应的 $\pi$ 那么就形成了前缀函数，如：

$i$	1	2	3	4	5	6	7
$S$	$A$	$AB$	$ABA$	$ABAD$	$ABADA$	$ABADAB$	$ABADABA$
$\pi$	$0$	$0$	$1$	$0$	$1$	$2$	$3$

这就是我们的前缀函数，但是...它和 KMP 有什么关系呢？

$\mathcal{3}\mathcal{,}\mathcal{KMP}$
接下来我就要根据前缀函数来推演出 KMP 算法。
假设文本串 $S=EACEEABC$，模式串 $P=EAB$ 。
考虑什么时候 $P$ 可以匹配上 $S$ 的字串。
我们可以这样，先用一个奇妙字符给他们衔接起来就变成了 $EAB\mathrm{\#}EACEEABC$ 。
然后我们就可以轻而易举地根据前缀函数得知，当且仅当 ${\pi }_i=len(P)$ 的时候才可以匹配上。
我们可以浅浅证明一下，因为前缀函数的定义就是到了 $i$，${\pi }_i$ 为前缀后缀相同时的最长长度，因为有特殊符号所以 $max\{{\pi }_i\}=len(P)$ 所以 $P$ 匹配上时，${\pi }_i=len(P)$。

$$\mathrm{接}\mathrm{下}\mathrm{来}\mathrm{文}\mathrm{中}\mathrm{出}\mathrm{现}\mathrm{的}S\mathrm{均}\mathrm{为}\mathrm{一}\mathrm{般}\mathrm{的}\mathrm{字}\mathrm{符}\mathrm{串}$$

那么接下来的问题就是如何求 ${\pi }_i$ 了。
我们可以把字符串想象成一些点，那么就变成了：

那么如果我们现在知道 ${\pi }_{i-1}$ 的数值的话：

那么轻而易举地我们可以知道当 $S_{{\pi }_{i-1}+1}$ 和 $S_i$ 相等时 ${\pi }_i={\pi }_{i-1}+1$，于是我们可以写出一个不完整的代码：

for(int i=1;i<=s.size();++i){
  int len=pi[i-1];
  if(s[i]==s[len]){
    pi[i]=len+1;
  }
}

BUT 不相等怎么办？那我们是不是尽量考虑次小的 ${\pi }_i$？那我们是不是又可以写出一个代码：

for(int i=1;i<=s.size();++i){
  int len=pi[i-1];
  while(s[i]!=s[len]){
    len=next_pi(i-1);
  }
  if(s[i]==s[len]){
    pi[i]=len+1;
  }
}

接下来我们就要解决 next_pi(x) 这个函数怎么求，我们可以再画一个图：

别问为什么图变了，如果我们仔细观察 ${\pi }_{i-1}^{{}^{\prime }}$ 和 ${\pi }_{i-1}$ 的关系我们可以发现，$[0,{\pi }_{i-1}^{{}^{\prime }}]$ 这段字符串本质上是 $[0，{\pi }_{i-1}]$ 的一段后缀，又根据前缀函数可知，$[i-{\pi }_{i-1}^{{}^{\prime }}，i-1]$ 一定是与 $[0，{\pi }_{i-1}^{{}^{\prime }}]$ 相等的，所以 $[0，{\pi }_{i-1}^{{}^{\prime }}]$ 是等于 $[0，{\pi }_{i-1}]$ 的后缀的！也就是 ${\pi }_{i-1}^{{}^{\prime }}$ 是等同于 ${\pi }_{p{i}_{i-1}}$ 的所以我们终于可以把代码补全了qwq：

for(int i=1;i<=s.size();++i){
  int len=pi[i-1];
  while(len&&s[i]!=s[len]){
    len=pi[len-1];
  }
  if(s[i]==s[len]){
    pi[i]=len+1;
  }
}

那么，如果你完完整整的看完了这篇博客，你可能会觉得这和你印象中的 KMP 不太一样，但是如果你把到 $\mathrm{\#}$ 之前的和之后的单独拆开你会发现这就变成了你熟悉的 KMP，但这也表示着重要的一点，你需要点赞，收藏，关注我qwq。