bzoj4013: [HNOI2015]实验比较
Description
小D 被邀请到实验室，做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有 N 张图片，编号为 1 到 N。实验分若干轮进行，在每轮实验中，小 D会被要求观看某两张随机选取的图片， 然后小D 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏，或者这两张图片质量差不多。 用符号“<”、“>”和“=”表示图片 x和y（x、y为图片编号）之间的比较：如果上下文中 x 和 y 是图片编号，则 x<y 表示图片 x“质量优于”y，x>y 表示图片 x“质量差于”y，x=y表示图片 x和 y“质量相同”；也就是说，这种上下文中，“<”、“>”、“=”分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思；在其他上下文中，这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则（在 x和y是图片编号的上下文中）：（1）x < y等价于 y > x。（2）若 x < y 且y = z，则x < z。（3）若x < y且 x = z，则 z < y。（4）x=y等价于 y=x。（5）若x=y且 y=z，则x=z。 实验中，小 D 需要对一些图片对(x, y)，给出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主观判断。小D 在做完实验后， 忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下，定义这 N 张图片的一个合法质量序列为形如“x1 R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串，也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1}，其中 xi为图片编号，x1,x2,…,xN两两互不相同（即不存在重复编号），Ri为<或=，“合法”是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。 例如： 质量序列3 < 1 = 2 与主观判断“3 > 1，3 = 2”冲突（因为质量序列中 3<1 且1=2，从而3<2，这与主观判断中的 3=2 冲突；同时质量序列中的 3<1 与主观判断中的 3>1 冲突） ，但与主观判断“2 = 1，3 < 2” 不冲突；因此给定主观判断“3>1，3=2”时，1<3=2 和1<2=3 都是合法的质量序列，3<1=2 和1<2<3都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了，小D 已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片 i，小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki。这些小 D 仍然记得的质量判断一共有 M 条（0 <= M <= N），其中第i 条涉及的图片对为(KXi, Xi)，判断要么是KXi < Xi ，要么是KXi = Xi，而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以这M 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。现在，基于这些主观数据，我们希望你帮小 D 求出这 N 张图片一共有多少个不同的合法质量序列。我们规定：如果质量序列中出现“x = y”，那么序列中交换 x和y的位置后仍是同一个序列。因此： 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一个序列， 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一个序列，而1 < 2 < 3 与1 < 2 = 3是不同的序列，1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由于合法的图片质量序列可能很多， 所以你需要输出答案对10^9 + 7 取模的结果
Input
第一行两个正整数N,M，分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数；
接下来M行，每行一条判断，每条判断形如”x < y”或者”x = y”。
Output
输出仅一行，包含一个正整数，表示合法质量序列的数目对 10^9+7取模的结果。
Sample Input
5 4
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5
Sample Output
5
HINT
不同的合法序列共5个，如下所示：
1 = 5 < 2 < 3 < 4
1 = 5 < 2 < 4 < 3
1 = 5 < 2 < 3 = 4
1 = 5 < 3 < 2 < 4
1 = 5 < 2 = 3 < 4
100%的数据满足N<=100。
题解：
假设a<b则a向b连一条边，如果a=b则将a和b两点合并成一个点（用并查集维护）
然后因为题目中有保证“对每张图片 i，小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki。”
所以每个点最多有一个入边，说明这要么是个森林，要么还有若干个环（有环显然答案为0）
然后设f[u][i]表示把以u为根的子树所有点排成一个合法序列（相等的点看成一个），长度为i（即有i-1个小于号）的方案数
那么如何将两个独立的子树合并
假如要将以x为根的子树和以y为根的子树合并
设g[i]表示合并后划分为i段
假如我们枚举了f[x][j]和f[y][k]，那么他们能更新的i满足max(j,k)<=i<=j+k
现在可以想象成有j个白球，k个黑球，有i个盒子，每个盒子每种球只能放1个，没有空盒
因为我们可以想成先把j个白球放好，现在还有i-j个空位必须由黑球填，还剩k+j-i个黑球需要放到j个有白球的盒子
这个方案数为c(i,j)*c(j,k+j-i)
所以g[i]+=f[x][j]*f[y][k]*c(i,j)*c(j,k+j-i) (max(j,k)<=i<=j+k)
然后就没有然后了
code：
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cmath> 4 #include<cstring> 5 #include<algorithm> 6 #define maxn 105 7 #define mod 1000000007 8 using namespace std; 9 char ch; 10 bool ok; 11 void read(int &x){ 12 for (ok=0,ch=getchar();!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') ok=1; 13 for (x=0;isdigit(ch);x=x*10+ch-'0',ch=getchar()); 14 if (ok) x=-x; 15 } 16 int c[maxn][maxn]; 17 int n,m,a,b,tot,now[maxn],son[maxn],pre[maxn],deg[maxn]; 18 int fa[maxn],siz[maxn],cnt,u[maxn],v[maxn],f[maxn][maxn],g[maxn]; 19 bool vis[maxn]; 20 int find(int x){return fa[x]==x?fa[x]:fa[x]=find(fa[x]);} 21 void put(int a,int b){pre[++tot]=now[a],now[a]=tot,son[tot]=b,deg[b]++;} 22 bool dfs(int u,int fa){ 23 vis[u]=1; 24 bool flag=1; 25 for (int p=now[u],v=son[p];p;p=pre[p],v=son[p]) 26 if (v!=fa){ 27 if (vis[v]) return false; 28 if (!dfs(v,u)) return false; 29 if (!flag){ 30 memset(g,0,sizeof(g)); 31 for (int j=1;j<=siz[u];j++) 32 for (int k=1;k<=siz[v];k++) 33 if (f[u][j]&&f[v][k]) 34 for (int i=max(j,k);i<=j+k;i++) 35 g[i]=(g[i]+1LL*f[u][j]*f[v][k]%mod*c[i][j]%mod*c[j][k-i+j]%mod)%mod; 36 siz[u]+=siz[v]; 37 for (int i=1;i<=siz[u];i++) f[u][i]=g[i]; 38 } 39 else{ 40 siz[u]=siz[v],flag=0; 41 for (int i=1;i<=siz[u];i++) f[u][i]=f[v][i]; 42 } 43 } 44 if (u){ 45 siz[u]++; 46 if (flag) f[u][1]=1; 47 else for (int i=siz[u];i>=1;i--) f[u][i]=f[u][i-1]; 48 } 49 return true; 50 } 51 int main(){ 52 read(n),read(m); 53 for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i; 54 for (int i=0;i<=n;i++) c[i][0]=1; 55 for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod; 56 for (int i=1;i<=m;i++){ 57 read(a); 58 for (;ch!='<'&&ch!='=';ch=getchar()); 59 if (ch=='='){ 60 read(b); 61 if (find(a)!=find(b)) fa[find(a)]=find(b); 62 continue; 63 } 64 read(b); 65 u[++cnt]=a,v[cnt]=b; 66 } 67 for (int i=1;i<=cnt;i++){ 68 a=u[i],b=v[i]; 69 if (find(a)!=find(b)) put(find(a),find(b)); 70 else{puts("0");return 0;} 71 } 72 for (int i=1;i<=n;i++) if (!deg[find(i)]) put(0,find(i)); 73 if (!dfs(0,-1)){puts("0");return 0;} 74 for (int i=1;i<=n;i++) if (fa[i]==i&&!vis[i]){puts("0");return 0;} 75 int ans=0; 76 for (int i=1;i<=siz[0];i++) ans+=f[0][i],ans%=mod; 77 printf("%d\n",ans); 78 return 0; 79 }
