NOI Online 2022 入门组 数学游戏 第二题题解

题意简述：#

令 $z=x×y×\text{gcd}(x,y)$，给出 $x$ 和 $z$，求出 $y$。如果无解，输出 $-1$。

思路：#

这个 $\text{gcd}$ 看着就很烦，我们想办法把它拆掉：
设 $d=\text{gcd}(x,y)$，那么就可以设 $x=pd, y=qd$。
而根据 $\text{gcd}$ 的定义，$p$ 和 $q$ 互质，那么 $p^2$ 和 $q$ 也互质。

这个时候，$z=x×y×\text{gcd}(x,y)=pd×qd×d=pqd^3$，
而 $y=qd=pqd^3÷pd^3=pqd^3÷x÷d= \frac{z}{xd}$。

这样只要我们求出 $d$，就能求出 $y$。

而根据上文推出的 $p^2$ 和 $q$ 互质，可以构造出：
$d^2=\text{gcd}(p^2 d^2,qd^2)=\text{gcd}(x^2,\frac{z}{x})$。

这样，就求出了 $d=\sqrt {\text{gcd}(x^2,\frac{z}{x})}$，进而就求出了 $y$。

不要忘了无解情况！

首先要判断 $x$ 是否是 $z$ 的约数，如果不是的话显然无解。
另外，上文中 $d=\sqrt {\text{gcd}(x^2,\frac{z}{x})}$，有可能会出现开方开不尽的情况。
这种情况要判断，如果 $d×d≠\text{gcd}(x^2,\frac{z}{x})$，那么无解。

代码：#

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

int main () {
    int T;
    cin >> T;
    while (T --) {
        ll x, z;
        cin >> x >> z;
        ll d = sqrt (__gcd (x * x, z / x));//设d
        ll y = z / x / d;//解出y
        if (z % x || d * d != __gcd (x * x, z / x)) {//判断是否无解
            puts ("-1");
        }
        else {
            cout << y << endl;//输出答案
        }
    }
    return 0;
}