「学习笔记」计算几何初步
一.关于精度
浮点数在计算几何的题目中大量的出现，而浮点数运算会有精度误差，所以在比较浮点数时，不能像整数一样直接比较，需要引入一个极小值 \(\text{eps}\)：
- \(a=b \to |a-b|<eps\)
- \(a>b \to a-b > eps\)
- \(a<b \to a-b < -eps\)
其中 \(\text{eps}\) 通常取 \(10^{-6}\)，也就是说当两个浮点数相差小于 \(10^{-6}\) 时，认为它们相等。
二.基础概念
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1. 点
一般在解决平面几何问题时，都是在平面直角坐标系上进行思考和计算。所以点（二维）都用它在平面直角坐标系上的坐标 \(P(x,y)\) 表示。
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2. 向量
几何向量是线性空间中有大小和方向的量。
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向量的表示
向量可以形象化为带着箭头的一条线段。箭头所指表示向量的方向，线段的长度代表向量的大小。给定向量的起点 \(A\) 和终点 \(B\)，向量可以表示为 \(\overrightarrow{AB}\)，也可用字母 \(a,b,u,v\) 表示（书写的时候要在字母顶上加上小箭头）
一般认为向量的要素只有大小和方向。所以对于一条有向线段，把它进行平移，把起点移到原点处，这样终点的坐标也就是这个向量的坐标。
若起点 \(A=(x_1,y_1)\)，终点 \(B=(x_2,y_2)\)，则向量 \(\overrightarrow{AB}\) 的坐标表示为 \((x_2-x_1,y_2-y_1)\)。这里可以看出，许多向量它们的坐标表示是相同的。对于坐标 \((x,y)\)，它能用来表示点也能表示向量。
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模
设 \(\overrightarrow{OA}=a\)，则有向线段 \(OA\) 的长度叫做这个向量的模。
记作 \(|a|\) 或 \(|\overrightarrow{OA}|\)。
向量的模即为向量的长度，记作 \(|\overrightarrow{a}|\)。
对于 \(\overrightarrow{a} = (x,y)\)，则 \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\)。 -
向量的运算
向量的加减法可以用坐标直观的表示出来：
设 \(a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)\)：
加法：\(a+b=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)；
减法：\(a-b=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)。向量的乘除法表示向量的伸长或缩短。
乘或除以一个负数能使向量的方向翻转。
设 \(a=(x,y)\)，则有：
\(ka=(kx,ky),a/k=(x/k,y/k)\)。 -
向量的夹角
两个非 \(0\) 向量 \(a,b\)，若在空间中 \(\overrightarrow{OA}=a,\overrightarrow{OB}=b\)，则 \(∠AOB\) 叫做向量 \(a\) 与 \(b\) 的夹角，记作 \(<a,b>\)。
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向量的点积
向量的点积又称向量的内积、数量积。\(\overrightarrow{a}\) 和向量 \(\overrightarrow{b}\) 的点积写作 \(\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b}\)。几何意义为：一个向量在另一个向量上的投影再乘上第二个向量的模长。计算公式为：\(\overrightarrow{a}· \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \ cos <\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}>\)。引入坐标后，通过三角恒定变换的推导：
对于 \(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)， \(\overrightarrow{a}· \overrightarrow{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2\)。
根据向量的点积，有以下几个性质：- 如果两个向量同向共线，那么它们的点积为它们的模长之积。
- 如果两个向量反向共线，那么它们的点积为它们的模长之积的相反数。
- 如果两个向量夹角 \(<90°\)，那么它们的点积为正。
- 如果两个向量夹角 \(>90°\)，那么它们的点积为负。
- 如果两个向量夹角 \(=90°\)，即垂直，那么它们的点积为 \(0\)。
根据向量的点积可以判断它们的夹角和投影。
同时，向量的点积具有交换律。
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