「学习笔记」计算几何初步

一.关于精度#

浮点数在计算几何的题目中大量的出现，而浮点数运算会有精度误差，所以在比较浮点数时，不能像整数一样直接比较，需要引入一个极小值 $\text{eps}$：

• $a=b \to |a-b|<eps$
• $a>b \to a-b > eps$
• $a<b \to a-b < -eps$

其中 $\text{eps}$ 通常取 $10^{-6}$，也就是说当两个浮点数相差小于 $10^{-6}$ 时，认为它们相等。

二.基础概念#

• 1. 点#

  一般在解决平面几何问题时，都是在平面直角坐标系上进行思考和计算。所以点（二维）都用它在平面直角坐标系上的坐标 $P(x,y)$ 表示。

• 2. 向量#

  几何向量是线性空间中有大小和方向的量。

  • 向量的表示#

    向量可以形象化为带着箭头的一条线段。箭头所指表示向量的方向，线段的长度代表向量的大小。给定向量的起点 $A$ 和终点 $B$，向量可以表示为 $\overrightarrow{AB}$，也可用字母 $a,b,u,v$ 表示（书写的时候要在字母顶上加上小箭头）

    一般认为向量的要素只有大小和方向。所以对于一条有向线段，把它进行平移，把起点移到原点处，这样终点的坐标也就是这个向量的坐标。

    若起点 $A=(x_1,y_1)$，终点 $B=(x_2,y_2)$，则向量 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标表示为 $(x_2-x_1,y_2-y_1)$。这里可以看出，许多向量它们的坐标表示是相同的。对于坐标 $(x,y)$，它能用来表示点也能表示向量。

  • 模#

    设 $\overrightarrow{OA}=a$，则有向线段 $OA$ 的长度叫做这个向量的模。
    记作 $|a|$ 或 $|\overrightarrow{OA}|$。
    向量的模即为向量的长度，记作 $|\overrightarrow{a}|$。
    对于 $\overrightarrow{a} = (x,y)$，则 $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$。

  • 向量的运算#

    向量的加减法可以用坐标直观的表示出来：
    设 $a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$：
    加法：$a+b=(x_1+x_2,y_1+y_2)$；
    减法：$a-b=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。

    向量的乘除法表示向量的伸长或缩短。
    乘或除以一个负数能使向量的方向翻转。
    设 $a=(x,y)$，则有：
    $ka=(kx,ky),a/k=(x/k,y/k)$。

  • 向量的夹角#

    两个非 $0$ 向量 $a,b$，若在空间中 $\overrightarrow{OA}=a,\overrightarrow{OB}=b$，则 $∠AOB$ 叫做向量 $a$ 与 $b$ 的夹角，记作 $<a,b>$。

  • 向量的点积#

    向量的点积又称向量的内积、数量积。$\overrightarrow{a}$ 和向量 $\overrightarrow{b}$ 的点积写作 $\overrightarrow{a} · \overrightarrow{b}$。几何意义为：一个向量在另一个向量上的投影再乘上第二个向量的模长。计算公式为：$\overrightarrow{a}· \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \ cos <\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}>$。引入坐标后，通过三角恒定变换的推导：
    对于 $\overrightarrow{a}=(x_1,y_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)$， $\overrightarrow{a}· \overrightarrow{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$。
    根据向量的点积，有以下几个性质：

    • 如果两个向量同向共线，那么它们的点积为它们的模长之积。
    • 如果两个向量反向共线，那么它们的点积为它们的模长之积的相反数。
    • 如果两个向量夹角 $<90°$，那么它们的点积为正。
    • 如果两个向量夹角 $>90°$，那么它们的点积为负。
    • 如果两个向量夹角 $=90°$，即垂直，那么它们的点积为 $0$。

    根据向量的点积可以判断它们的夹角和投影。
    同时，向量的点积具有交换律。