「学习笔记」2-SAT

一.什么是 $\text{2-SAT}$#

$SAT$ 是适定性 $Satisfiability$ 问题的简称。一般形式为 $k -$适定性问题，简称 $\text{k-SAT}$。而当 $k>2$ 时，该问题为 $NP$ 完全的。所以我们只研究 $k=2$ 的情况。

形象地来说，给定 $n$ 个布尔变量 $a_i$，同时给出若干个约束条件：

$(\text{not})a_i$ $op$ $(\text{not})a_j = \text{true/false}$。

而求解 $\text{2-SAT}$ 就是求出一组 $a_i$ 的解。

二.将 $\text{2-SAT}$ 问题转换为图论问题#

首先定义一条有向边的定义 $x\to y$：如果满足 $x$ 就必须满足 $y$。

发现一个点有两个状态真或假，可以想到将点 $u$ 拆为点 $u_0,u_1$，分别表示假或真。

$1.$ $a\land b = \text{true}$ $\to (a1, b1),(b1, a1)$。

$2.$ $a\land b = \text{false}$ $\to (a1, b0),(b1, a0)$。

$3.$ $a\lor b = \text{true}$ $\to (a0, b1),(b0, a1)$。

$4.$ $a\lor b = \text{false}$ $\to (a0, b0),(b0, a0)$。

这样我们就将 $\text{2-SAT}$ 问题转换为图论问题了，可以运用图论的方式解决。

三.解决 $\text{2-SAT}$ 问题#

• $1.$ 判断有无解#

  由上文定义的状态可以得知，$u_0$ 和 $u_1$ 不能同时被满足。
  那么存在点 $x_0$ 和 $x_1$ 在同一个强连通分量中时，那么无解。
  反之则有解。

• $2.$ 求方案#

  由我们的建边可得：对于每个点 $u$，选择其拓扑序较大的那种状态更优。
  为什么呢？
  如下图所示：
  

  对于 $x1$ 的两种状态，如果选择 $\text{false}$，那么推导出 $x2$ 为 $\text{true}$，又推导出 $x1$ 为 $\text{true}$，又推导出 $x2$ 为 $\text{false}$，发现这种解法矛盾了。
  但如果对于 $x1$ 选择 $\text{true}$，那么 $x2$ 为 $\text{false}$，则满足要求。
  由此我们得出：对于每个点 $u$，选择其拓扑序较大的那种状态更优。
  这里不需要再做一遍拓扑排序求拓扑序，在 $\text{Tarjan}$ 求强连通分量中就求出了每个点的逆拓扑序，每个点的强连通分量编号也就是逆拓扑序。

四.例题讲解#

P4782 【模板】2-SAT 问题#

$\text{2-SAT}$ 模板题。

按照上文建边，求解即可。

代码如下：

Copy
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <stack>

using namespace std;

const int N = 2000005;

struct EDGE {
	int nxt;
	int to;
}e[N];

int cnt = 1, sjc = 0, dfn[N], low[N], col[N], co = 0, head[N], edge_num = 0;

int sta[N], top = 0;

stack<int> s;

bool insta[N];

inline void add_edge (int x, int y) {
	e[++edge_num].nxt = head[x];
	e[edge_num].to = y;
	head[x] = edge_num;
}

inline void tarjan (int u) {
	sta[++top] = u;
	low[u] = dfn[u] = ++sjc;
	insta[u] = true;
	for (int i = head[u] ;~i ; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].to;
		if (!dfn[v]) {
			tarjan (v);
			low[u] = min (low[u], low[v]);
		}
		else if (insta[v]) {
			low[u] = min (low[u], dfn[v]);
		}
	} 
	if (low[u] == dfn[u]) {
		cnt ++;
		int tp;
		do {
			tp = sta[top--];
			col[tp] = cnt;
			insta[tp] = false;
		}while (tp != u);
	}
}//Tarjan求强连通分量。

int main() {
	memset (head, -1, sizeof (head));
	int n, m;
	scanf ("%d%d", &n, &m);
	while (m --) {
		int i, a, j, b;
		scanf ("%d%d%d%d",  &i, &a, &j, &b);
		
		if (a == 0 && b == 0) {//a=0或b=0
			add_edge (i + n, j);//i真j假
			add_edge (j + n, i);//j真i假
		}
		
		if (a == 0 && b == 1) {//a=0或b=1
			add_edge (i + n, j + n);//i真j假
			add_edge (j, i);//j假i真
		}
		
		if (a == 1 && b == 0) {//a=1或b=0
			add_edge (i, j);//i假j假
			add_edge (j + n, i + n);//j真i真
		}
		
		if (a == 1 && b == 1) {//a=1或b=1
			add_edge (i, j + n);//i假j真
			add_edge (j, i + n);//j假i真
		}
	}
	for (int i = 1; i <= (n << 1); i ++) {
		if (!dfn[i]) {
			tarjan (i);
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		if (col[i] == col[i + n]) {//无解状态。
			puts ("IMPOSSIBLE");
			return 0;
		}
	}
	puts ("POSSIBLE");
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		printf ("%d ", col[i] > col[i + n] ? 1 : 0);
		//选择拓扑序大的。
	}
	return 0;
}

P4171 [JSOI2010] 满汉全席#

设汉式的点编号为 $1到n$，满式的点编号为 $n+1到2n$。

那么就按照模板建边解决 $\text{2-SAT}$ 问题即可。

UVA11294 Wedding#

题意：有 $n$ 对夫妻分别坐在新郎与新娘两侧，有两个要求：

$1.$ 一对夫妻不能坐在同一侧；

$2.$ 给出 $m$ 个特殊关系，有特殊关系的两个人不能同时坐在新郎一侧，也就是说可以分别坐两侧，或者同时坐在新娘一侧。

我们设女方的 $0$ 状态为 $1到n$，男方的 $0$ 状态为 $n+1到2n$，女方的 $1$ 状态为 $2n+1到3n$，男方的 $1$ 状态为 $3n+1到4n$。

同时设 $0$ 状态在左边，也就是新娘一侧。$1$ 状态在右边，也就是新郎一侧。

这样就可以建边了解决 $\text{2-SAT}$ 问题了。

建边代码如下：

Copy
Add(1 + 2 * n, 1);//强制新娘在左边
Add(1 + n, 1 + n + 2 * n);//强制新郎在右边
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
	int x = i, y = i + n; //x女方0状态，y男方0状态
	
	Add(x, y + 2 * n); 
	Add(y + 2 * n, x);
	Add(x + 2 * n, y); 
	Add(y, x + 2 * n);
	
	//双方0状态与1状态互相连边
}
while (m --) {
	int x, y;
	char a, b;
	scanf("%d%c%d%c", &x, &a, &y, &b);
	x ++, y ++;//调整编号为1-n
	if (a == 'h') {
		x += n;
	}
	if (b == 'h') {
		y += n;
	}
	//男方要加一个n
	
	Add(x + 2 * n, y);
	Add(y + 2 * n, x);
	
	//双方不在同一侧
}

P3007 [USACO11JAN] The Continental Cowngress G#

也是模板。

拆点后建边跑 $\text{Tarjan}$，然后用 $\text{dfs}$ 判断点的可行情况即可。