「学习笔记」强联通分量

一.强连通分量的相关概念#

• 强连通图#

  在一个有向图中，存在一条路径，使得所有的节点都被经过至少一次，那么这样的图称作强连通图。下图就是一个强连通图：
  

• 强联通分量#

  在强联通图的基础上加入一些点和路径，使得现在的图不再强联通，那么原来强联通的部分称作强连通分量。下图绿色部分就是强联通分量：
  

二.强联通分量的作用#

在解决图论问题时，我们可以利用强联通分量的知识，将图中的各个强连通分量都缩成一个点，便于解决问题。有时，通过求强连通分量，可以得出图中环及环的长度。

三.$\text{Tarjan}$ 算法求强联通分量#

$1.$ 基本思路#

先考虑一下强连通分量的性质：存在一条路径可以从任意一点出发再到达该点。

在查找过程中，可以对经过的点标记。发现节点 $u$ 连向的节点 $v$ 被标记过，那么就说明找到了一条路径，这条路径上的所有节点构成一个强联通分量。为了保存这条路径上的节点，最合适的数据结构就是栈。找到路径时，逐个弹出栈中的元素，直到起始节点。再继续搜索其它强连通分量。

$2.$ 算法讲解#

需要对每一个节点 $u$ 创建以下两个变量：
$dfn_u:$ 表示 $DFS$ 时节点 $u$ 被搜索到的次序。

$low_u:$ 表示节点 $u$ 能够回溯到的最早的在栈中的节点。用定义来解释：设以节点 $u$ 为根的子树为 $subtree_u$，那么 $low_u = \min_{(dfn_v)}$ $(v \in subtree_u)$。

然后我们就能轻易得出三个性质：

• $1.$ 以 $u$ 为根节点的子树中的任意一个节点的 $dfn$ 值都小于 $dfn_u$。

• $2.$ 从根出发的一条路径上的 $dfn$ 值严格递增。

• $3.$ 从根出发的一条路径上的 $low$ 值严格非降。

接下来 $DFS$ 图中的所有节点。

搜索过程中，对于相邻的节点 $u$ 和 $v$，考虑以下三种情况：

• $1.$ 节点 $v$ 未被访问过：继续对节点 $v$ 进行 $DFS$。回溯过程，用 $low_v$ 更新 $low_u$。因为存在节点 $u$ 到 $v$ 的直接路径，那么节点 $u$ 能回溯到栈中的节点，节点 $v$ 必然也能回溯到。

• $2.$ 节点 $v$ 被访问过，已经在栈中：用 $dfn_v$ 来更新 $low_u$。

• $3.$ 节点 $v$ 被访问过，但不在栈中：说明 $v$ 被搜索完毕，其所在的强联通分量已经被处理，所以不用被其进行操作。

对于一个强连通分量图，容易得到，在该图中只有一个节点 $u$ 满足 $low_u=dfn_u$，且该点一定是在 $DFS$ 过程中被访问的第一个节点。因为它的 $dfn$ 和 $low$ 值最小，不会被该强连通分量中的其他节点所影响。

因此，在回溯的过程中只需要判断 $dfn_u=low_u$ 是否成立，如果成立，那么节点 $u$ 以及上方的节点构成一个强连通分量。

$3.$ 代码实现#

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stack<int> sta;
vector<int> SCC[N];//记录强连通分量中的点。
int tim = 0, head[N], dfn[N], low[N], col[N], cnt = 0;
//tim：时间戳。
//col_i：表示第i个点属于的强联通分量编号。
void tarjan (int u) {
	dfn[u] = low[u] = ++ tim;//初始该点的dfn=low=时间戳。
	sta.push (u);//当前节点进栈。
	insta[u] = true;
	for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
		int v = e[i].to;
		if (!dfn[v]) {
			tarjan (v);
			low[u] = min (low[u], low[v]);
			//没有被搜索过，用 low_v 值更新 low_u 值。
		}
		else if (insta[v]) {
			low[u] = min (low[u], dfn[v]);
			//搜索过的节点在栈中，用 dfn_v 值更新 low_u 值。
		}
	}
	
	if (dfn[u] == low[u]) {//找到一个 SCC。
		cnt ++;//编号+1。
		int v;
		while (u != v) {
			v = sta.top ();//不断取栈顶。
			sta.pop ();//出栈。
			insta[v] = false;//不在栈中。
			col[v] = cnt;//v点属于第cnt个SCC中。
			SCC[cnt].push_back (v);//将v点加入第cnt个SCC中。
		}
	}
}

易证，时间复杂度为 $O(n+m)$。

四.例题讲解#

P2341 [USACO03FALL][HAOI2006]受欢迎的牛 G#

将爱慕关系建为一个有向图，那么在同一个强连通分量中的牛都互相爱慕。

那我们可以将强连通分量看做一个点，缩点后的奶牛就不会出现互相爱慕的情况了。

由题面可知，只有不爱慕其它奶牛才能当明星，那么我们就要在缩点后的图找出度为 $0$ 的点。

然后得到两个结论：

$1.$ 缩点后，如果只有一个点出度为 $0$，则明星的数量为这个点的强连通分量的大小。

$2.$ 缩点后，如果有多个点出度为 $0$，那么没有明星。

这样就解决了。

P2272 [ZJOI2007]最大半连通子图#

用 $tarjan$ 算法缩点后去重边，题目就变成了求最长链以及最长链个数。

缩点后的图是一个 $DAG$，拓扑排序跑 $DP$ 转移即可。