「学习笔记」期望问题
一.基本概念
数学期望（简称期望），是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，它反映了随机变量平均取值的大小。
对于随机变量 \(X\)，它有 \(n\) 种可能的取值，取值为 \(x_i\) 的概率为 \(P(x_i)\)，那么它的数学期望 \(E(X)=\Sigma _{i=1}^{n} x_i P(x_i)\)。
举个例子：给定一个随机变量 \(X\)，它有六种可能的取值，分别是 \(1,2,3,4,5,6\)，且取每个值得概率是一样的，那么 \(E(X)=\frac{1}{6}×1+\frac{1}{6}×2+\frac{1}{6}×3+\frac{1}{6}×4+\frac{1}{6}×5+\frac{1}{6}×6=\frac{7}{2}\)。
数学期望可以用加权平均数来理解，可能取值就是初始数据，概率就是每个数的权，此时期望就是加权平均数。
二.性质
设 \(A,B,C\) 为常数， \(X,Y\) 为随机变量，那么有：
- \(E(C)=C\)；
- \(E(CX)=CE(X)\)；
- \(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)；
- \(X,Y\) 互相独立时， \(E(XY)=E(X)E(Y)\)；
- 结合上列性质，得出 \(X,Y\) 互相独立时 \(E(AX+BY)=AE(X)+BE(Y)\)。
三.例题讲解
Ybtoj【例题1】单选错位
P1297 [国家集训队]单选错位
分四种情况讨论：
-
\(1.\) 每道题选项个数都相同：设每道题有 \(a\) 个选项，那么选对一道题的概率为 \(\frac{1}{a}\)，所以 \(E(ans)=\frac{n}{a}\)。
-
\(2.\) 对于第 \(i\) 题，当 \(a_i<a_{i+1}\) 时，第 \(i+1\) 题的答案与第 \(i\) 题答案相同的概率为 \(\frac{1}{a_{i+1}}\)，即答对第 \(i+1\) 题的概率为 \(\frac{1}{a_{i+1}}\)，
-
\(3.\) 当 \(a_i=a_{i+1}\) 时，同第 \(2\) 条。
-
\(4.\) 当 \(a_i>a_{i+1}\)，第 \(i\) 题与第 \(i+1\) 题答案相同的概率为 \(\frac{1}{a_i}\)，即答对第 \(i+1\) 题的概率为 \(\frac{1}{a_i}\)。
综上所述，我们记答对第 \(i\) 题的概率为 \(P(i)\)，期望为 \(E(ans_i)\)。答对一道题，对总答案的贡献为 \(1\)，因此对于第 \(i\) 题，答对的期望 \(E(ans_i)=P(i)×1=P(i)\)。所以，\(E(Ans)=E(\sum ^{n}_{i=1} ans_i)=\sum ^{n}_{i=1}E(ans_i)=\sum ^{n}_{i=1}P(i)\)。
核心代码：
a[n + 1] = a[1];
double ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
ans += 1.0 / max (a[i], a[i + 1]);
}
Ybtoj【例题2】期望分数
P1365 WJMZBMR打osu! / Easy
先思考一下，在连续 \(a\) 个 \(o\) 后面再加一个 \(o\)，会对答案产生多少贡献？
显然，会多贡献 \((a+1)^2-a^2=a^2+1+2a-a^2=2a+1\)。
当处理到第 \(i\) 位时，我们可以知道以第 \(i\) 位为结尾的连续 \(o\) 的期望长度，根据 连续 \(o\) 的期望长度，就可以轻松算出期望分数。
核心代码：
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (c[i] == 'o') {
ans += len * 2 + 1;//一定是，累计贡献。
len++;//同上。
}
else if (c[i] == 'x') {
len = 0;//一定不是，期望长度归0。
}
else {
ans += (len * 2 + 1) / 2;//有一半的概率不是o，所以要除以2。
len = (len + 1) / 2;//同上。
}
}
Ybtoj【例题3】路径长度
P4316 绿豆蛙的归宿
因为已知最终状态，那么逆推。
设有向边 \(x\to y\)，那么有 \(f_x=(\frac{1}{deg_x})\Sigma f_y + w_{x\to y}\)。
因为反向建边，所以我们要把 \(x,y\) 颠倒过来。
核心代码：
queue <int> q;
q.push (n);
while(!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
for(int i=head[u]; i; i = e[i].from) {
int v = e[i].to;
f[v] += (f[u] + e[i].w) / dg[v];
if(--in[v] == 0) {
q.push (v);
}
}
}
四.初赛例题
在一条长度为 \(1\) 的线段上随机取两个点,则以这两个点为端点的线段的期望长度是：
A. 1 / 2
B. 1 / 3
C. 2 / 3
D. 3 / 5
答案：B。
解析：
从 \(0～L\) 任选一点 \(x\),与 \(0\) 到 \(x\) 的线段长度期望为
\(\frac{\int_0^Lx}{L}=(\frac{1}{2}L^2-\frac{1}{2}0^2)/L=\frac{L}{2}\)
于是从 \(0～1\) 任选一点 \(x\)，然后再选一点 \(y\) 与 \(x\) 的构成线段的期望长度为
\([\int_0^1( \frac{1-x}{1}*\frac{1-x}{2}+\frac{x}{1}*\frac{x}{2})]/1\)
\(=\int_0^1( x^2-x-\frac{1}{2})\)
\(=(\frac{1}{3}*1^3-\frac{1}{2}*1^2-\frac{1}{2}*1)-(0)\)
\(=\frac{1}{3}\)
假设一台抽奖机中有红、蓝两色的球,任意时刻按下抽奖按钮,都会等概率获得红球或蓝球之一。有足够多的人每人都用这台抽奖机抽奖,假如他们的策略均为:抽中蓝球则继续抽球,抽中红球则停止。最后每个人都把自己获得的所有球放到一个大箱子里,最终大箱子里的红球与蓝球的比例接近于：
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 1 : 3
D. 1 : 1
答案：D
解析：
设 \(E(x)\) 为抽到第一个红球之前抽到的蓝球个数的期望：
\(E(x)=\frac{1}{2}*0+\frac{1}{2}*(1+E(x))\)
解得\(E(x)=1\)
