「学习笔记」期望问题

一.基本概念#

数学期望（简称期望），是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，它反映了随机变量平均取值的大小。

对于随机变量 $X$，它有 $n$ 种可能的取值，取值为 $x_i$ 的概率为 $P(x_i)$，那么它的数学期望 $E(X)=\Sigma _{i=1}^{n} x_i P(x_i)$。

举个例子：给定一个随机变量 $X$，它有六种可能的取值，分别是 $1,2,3,4,5,6$，且取每个值得概率是一样的，那么 $E(X)=\frac{1}{6}×1+\frac{1}{6}×2+\frac{1}{6}×3+\frac{1}{6}×4+\frac{1}{6}×5+\frac{1}{6}×6=\frac{7}{2}$。

数学期望可以用加权平均数来理解，可能取值就是初始数据，概率就是每个数的权，此时期望就是加权平均数。

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二.性质#

设 $A,B,C$ 为常数， $X,Y$ 为随机变量，那么有：

• $E(C)=C$；
• $E(CX)=CE(X)$；
• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$；
• $X,Y$ 互相独立时， $E(XY)=E(X)E(Y)$；
• 结合上列性质，得出 $X,Y$ 互相独立时 $E(AX+BY)=AE(X)+BE(Y)$。

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三.例题讲解#

Ybtoj【例题1】单选错位#

P1297 [国家集训队]单选错位#

分四种情况讨论：

• $1.$ 每道题选项个数都相同：设每道题有 $a$ 个选项，那么选对一道题的概率为 $\frac{1}{a}$，所以 $E(ans)=\frac{n}{a}$。

• $2.$ 对于第 $i$ 题，当 $a_i<a_{i+1}$ 时，第 $i+1$ 题的答案与第 $i$ 题答案相同的概率为 $\frac{1}{a_{i+1}}$，即答对第 $i+1$ 题的概率为 $\frac{1}{a_{i+1}}$，

• $3.$ 当 $a_i=a_{i+1}$ 时，同第 $2$ 条。

• $4.$ 当 $a_i>a_{i+1}$，第 $i$ 题与第 $i+1$ 题答案相同的概率为 $\frac{1}{a_i}$，即答对第 $i+1$ 题的概率为 $\frac{1}{a_i}$。

综上所述，我们记答对第 $i$ 题的概率为 $P(i)$，期望为 $E(ans_i)$。答对一道题，对总答案的贡献为 $1$，因此对于第 $i$ 题，答对的期望 $E(ans_i)=P(i)×1=P(i)$。所以，$E(Ans)=E(\sum ^{n}_{i=1} ans_i)=\sum ^{n}_{i=1}E(ans_i)=\sum ^{n}_{i=1}P(i)$。

核心代码：

Copy
a[n + 1] = a[1];
double ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
	ans += 1.0 / max (a[i], a[i + 1]);
}

Ybtoj【例题2】期望分数#

P1365 WJMZBMR打osu! / Easy#

先思考一下，在连续 $a$ 个 $o$ 后面再加一个 $o$，会对答案产生多少贡献？

显然，会多贡献 $(a+1)^2-a^2=a^2+1+2a-a^2=2a+1$。

当处理到第 $i$ 位时，我们可以知道以第 $i$ 位为结尾的连续 $o$ 的期望长度，根据 连续 $o$ 的期望长度，就可以轻松算出期望分数。

核心代码：

Copy
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (c[i] == 'o') {
        ans += len * 2 + 1;//一定是，累计贡献。
		len++;//同上。
    }

    else if (c[i] == 'x') {
        len = 0;//一定不是，期望长度归0。
    }

    else {
        ans += (len * 2 + 1) / 2;//有一半的概率不是o，所以要除以2。
        len = (len + 1) / 2;//同上。
    }
}

Ybtoj【例题3】路径长度#

P4316 绿豆蛙的归宿#

因为已知最终状态，那么逆推。

设有向边 $x\to y$，那么有 $f_x=(\frac{1}{deg_x})\Sigma f_y + w_{x\to y}$。

因为反向建边，所以我们要把 $x,y$ 颠倒过来。

核心代码：

Copy
queue <int> q;
q.push (n);
while(!q.empty()) {
	int u = q.front();
	q.pop();
	for(int i=head[u]; i; i = e[i].from) {
		int v = e[i].to;
		f[v] += (f[u] + e[i].w) / dg[v];
		if(--in[v] == 0) {
			q.push (v);
		}
	}
}

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四.初赛例题#

在一条长度为 $1$ 的线段上随机取两个点,则以这两个点为端点的线段的期望长度是：
A. 1 / 2
B. 1 / 3
C. 2 / 3
D. 3 / 5

答案：B。

解析：
从 $0～L$ 任选一点 $x$,与 $0$ 到 $x$ 的线段长度期望为

$\frac{\int_0^Lx}{L}=(\frac{1}{2}L^2-\frac{1}{2}0^2)/L=\frac{L}{2}$

于是从 $0～1$ 任选一点 $x$，然后再选一点 $y$ 与 $x$ 的构成线段的期望长度为

$[\int_0^1( \frac{1-x}{1}*\frac{1-x}{2}+\frac{x}{1}*\frac{x}{2})]/1$

$=\int_0^1( x^2-x-\frac{1}{2})$

$=(\frac{1}{3}*1^3-\frac{1}{2}*1^2-\frac{1}{2}*1)-(0)$

$=\frac{1}{3}$

假设一台抽奖机中有红、蓝两色的球,任意时刻按下抽奖按钮,都会等概率获得红球或蓝球之一。有足够多的人每人都用这台抽奖机抽奖,假如他们的策略均为:抽中蓝球则继续抽球,抽中红球则停止。最后每个人都把自己获得的所有球放到一个大箱子里,最终大箱子里的红球与蓝球的比例接近于：
A. 1 : 2
B. 2 : 1
C. 1 : 3
D. 1 : 1

答案：D

解析：

设 $E(x)$ 为抽到第一个红球之前抽到的蓝球个数的期望：

$E(x)=\frac{1}{2}*0+\frac{1}{2}*(1+E(x))$

解得$E(x)=1$