「学习笔记」同余问题

一.基本概念

\(1.\) \(a|b\)：\(a\) 能整除 \(b\)，即 \(b \bmod a = 0\)。

\(2.\) \(a\equiv b(\bmod m)\)： \(a\) 与 \(b\) 在模 \(m\) 的意义下同余，即 \(a\bmod m = b \bmod m\)。

\(3.\) \(\varphi(n)\)：欧拉函数，表示 \([1,n]\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。

---

二.同余

• 1.整除与同余的关系

  （1）：\(a\equiv b(\bmod m)\) 当且仅当 \(m|(a-b)\)。
  （2）：\(a\equiv b(\bmod m)\) 当且仅当 \(a=b+k×m\)。

• 2.同余的性质

  对于整数 \(a,b,c\) 以及自然数 \(m,n\)，有：

  （1）自反性：\(a\equiv a(\bmod m)\)。
  （2）对称性：若 \(a\equiv b(\bmod m)\)，那么 \(b\equiv a(\bmod m)\)。
  （3）传递性：若 \(a\equiv b(\bmod m)\)、\(b\equiv c(\bmod m)\)，那么 \(a\equiv c(\bmod m)\)，
  （4）同加性：若 \(a\equiv b(\bmod m)\)，那么 \(a + c\equiv b + c(\bmod m)\)。
  （5）同乘性：若 \(a\equiv b(\bmod m)\)，那么 \(ac\equiv bc(\bmod m)\)。
  （6）同幂性：若 \(a\equiv b(\bmod m)\)，那么 \(a^n\equiv b^n(\bmod m)\)。
  （7）若 \(a\equiv b(\bmod p)\)、\(a\equiv b(\bmod q)\)，那么 \(a\equiv b(\bmod pq)\)。

• 3.相关定理

  • 费马小定理：
    若 \(p\) 为质数，则对于任意整数 \(a\)，有 \(a^p\equiv a(\bmod p)\)。
  • 费马小定理的推论：
    当 \(p\) 为质数且 \(p\nmid a\) 时，\(a^{p-1}\equiv 1(\bmod p)\)。
  • 欧拉定理：
    当 \(\gcd(a, n)=1\) 时，\(a^{\varphi(n)}\equiv 1(\bmod n)\)。
  • 欧拉定理的推论：
    若 \(\gcd(a, n)=1\)，则 \(a^b\equiv a^{b\bmod \varphi(n)}(\bmod n)\).

---

三.欧拉函数

(1) 设 \(n=p^k\)，其中 \(n,k\) 为正整数，\(p\) 为质数，则有 \(\varphi (n)=p^k-p^{k-1}\)。

(2) 设 \(n,m\) 为正整数，且 \(\gcd(n,m)=1\)，则有 \(\varphi(nm)=\varphi(n)×\varphi(m)\)。

(3) 设 \(N = \Pi _{i=1}^{n} p_i^{k_i}\)，其中 \(p\) 为质数，那么 \(\varphi(N)=N×\Pi _{i=1}^{n}(1-\frac{1}{p_i})\)。

---

四.扩展欧几里得算法

• \(1\).前置算法：欧几里得算法。

• \(2\).相关定理：
  裴蜀定理：对于任意整数 \(a,b\)，存在一对整数 \(x,y\)，满足 \(ax+by=\gcd(a,b)\)。

  证明：当欧几里得算法到最后一步时，也就是 \(b=0\) 时，对于 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 肯定有一组解 \(\begin{cases}x=1\\ y=0\end{cases}\)。

  当 \(b>0\) 时，设上一个方程 \(bx+(a\bmod b)y = \gcd(b,a\bmod b)\) 的解为 \(\begin{cases}x=x'\\ y=y'\end{cases}\)，那么方程可以变形为 \(bx'+ay'- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor by'=ay'+b(x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y')=\gcd(a,b)\)。

  那么此时，\(\begin{cases}x=y'\\ y=x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y'\end{cases}\) 就是一组解。

• \(3\).算法介绍：与上文裴蜀定理的证明相似，我们可以利用欧几里得算法求出方程 \(ax+by=\gcd(x,y)\) 的解，这称为扩展欧几里得算法。

---

五.线性同余方程

• \(1.\) 前置算法：扩展欧几里得算法。

• \(2.\) 相关概念：
  同余方程：形如 \(ax\equiv c(\bmod b)\)，\(a,b,c\) 为整数的方程。

• \(3.\) 解法：
  对于 \(ax\equiv c(\bmod b)\)，我们可以转化为 \(ax+by=c\)。

  只考虑 \(c>\gcd(a,b)\) 的情况，设方程 \(ax+by=c'\) 有一组整数解 \(\begin{cases}x=x'\\ y=y'\end{cases}\)。如果 \(c'|c\)，那么这个方程一定有一组解 \(\begin{cases}x=x' * \frac{c}{c'}\\ y=y' * \frac{c}{c'}\end{cases}\)。

  根据裴蜀定理，我们可知 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 一定有一组整数解。所以对于满足 \(\gcd(a,b)|c\) 时， \(ax\equiv c(\bmod b)\) 的一组整数解为 \(\begin{cases}x=x' * \frac{c}{\gcd(a,b)}\\ y=y' * \frac{c}{\gcd(a,b)}\end{cases}\).

  接下来继续探讨一下，当已知 \(ax\equiv c(\bmod b)\) 的一组解时，能否可以得出它的其它解？

  假设已知 \(x=x_0\)，那么该方程在模 \(b\) 的意义下，一定有 \(\gcd(a,b)\) 个不同的解，其中 \(x_i=(x_0+i*\frac{b}{(\gcd(a,b))}) \bmod b\)，证明略。

• \(4.\) 例题讲解

  Ybtoj【例题1】同余方程

  P1082 [NOIP2012 提高组] 同余方程

  这是一道线性同余方程的模板题。

  可以直接用扩展欧几里得算法求出方程 \(ax\equiv 1(\bmod b)\) 的一个解。

  但是题目还要求找出最小正整数值，我们思考一下怎么求。

  因为题目保证有解，那么 \(\gcd(a,b)=1\)，所以我们这个时候求出的解在模 \(b\) 的意义下是唯一的！

  但是最后要注意，有可能得到负数解，取模的时候要处理一下。

  核心代码如下：

  void exgcd (int a, int b, int &x, int &y) {
  	if (b == 0) {
  		x = 1;
  		y = 0;
  		return ;
  	}
  	exgcd (b, a % b, y, x);
  	y -= a / b * x;
  }
  
  cout << (x % b + b) % b;
  

---

六.乘法逆元

• \(1.\) 相关概念：
  乘法逆元：若 \(b,p\) 互质，且 \(b|a\)，则存在一个整数 \(x\) 使 \(\frac{a}{b} \equiv ax(\bmod p)\)。我们称 \(x\) 为 \(b\) 在模 \(p\) 意义下的乘法逆元，记作 \(b^{-1}\)。

• \(2.\) 前置知识：费马小定理，线性同余方程。

• \(3.\) 求法：根据 \(\frac{a}{b} \equiv ab^{-1}(\bmod p)\)，可以得到 \(bb^{-1}\equiv 1(\bmod p)\)。先考虑一些特殊情况：当 \(p\) 为质数时，由费马小定理得： \(b^{p-1}\equiv 1(\bmod p)\)，即 \(b×b^{p-2}\equiv 1 (\bmod p)\)，此时可以得到 \(b^{-1}\equiv b^{p-2}(\bmod p)\)。于是我们得到特殊情况求逆元的方法。

  非特殊情况我们使用线性同余方程的知识解决即可。

• \(4.\) 例题讲解：

  Ybtoj【例题2】约数之和

  设 \(A=p_1^{k_1}*p_2^{k_2}…*p_n^{k_n}\)，其中 \(p\) 为质数，那么 \(A^B=p_1^{Bk_i}*p_2^{Bk_2}…*p_n^{Bk_n}\)。

  已知 \(A^B\) 的约数和为 \(\Pi _{i=1}^{n}(\sum ^{Bk_{i}}_{j=0}p_{i}^j)\)，根据等比数列求和公式可得 \(\Pi _{i=1}^{n}(\sum ^{Bk_{i}}_{j=0}p_{i}^j) = \Pi _{i=1}^{n}(\frac{p_i^{Bk_i+1}-1}{p_i-1})\)，此时我们可以用快速幂求出分子的值。

  对于分母，因为 \(9901\) 为质数，所以当 \(p_i-1\) 与 \(9901\) 互质时，直接求出 \(p_i-1\) 在模 \(9901\) 意义下的乘法逆元。当 \(p_i-1\) 与 \(9901\) 不互质时，此时 \(\sum ^{Bk_{i}}_{j=0}p_{i}^j\) 的结果模 \(9901\) 后结果为 \(bk_i+1\)。

  Ybtoj【例题3】线性求逆元

  P3811 【模板】乘法逆元

  假设已经求出 \([1,i-1]\) 的乘法逆元，设 \(p=\lfloor \frac{p}{i} \rfloor * i + r\)，那么式子同时乘 \(i^{-1}r^{-1}\) ，可以得到 \(i^{-1}\equiv -r^{-1}*\lfloor \frac{p}{i}\rfloor (\bmod p)\)，就可以做出来了。

---

七.中国剩余定理

• \(1.\) 前置算法：扩展欧几里得算法。

• \(2.\) 相关定理：
  （1） 中国剩余定理：若 \(m_1,m_2,……,m_n\) 满足两两互质，\(M=\Pi _{i=1}^{n}m_{i}\)，\(M_i=\frac{M}{m_i}\)， \(t_i\) 满足 \(t_i M_i \equiv 1(\bmod m_i)\)。对于任意的 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,……,a_n\)，方程组 \(\begin{cases}x\equiv a1\left( \bmod m_{1}\right) \\ x\equiv a_{2}\left( \bmod m_{2}\right) \\……\\ x\equiv a_{n}\left (\bmod m_n\right) \end{cases}\) 必定有整数解，其中有一个解为 \(\sum ^{n}_{i=1} a_i M_i t_i\)，且在模 \(M\) 的意义下有唯一解。

• \(3.\) 例题讲解：

  Ybtoj【例题4】中国剩余定理

  P1495 【模板】中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪

  根据上文写到的公式，求出答案即可。