「学习笔记」Miller Rabin 素数测试

一.素数的定义

素数又称素数。一个大于 \(1\) 的自然数，如果除了 \(1\) 或者它本身之外，没有数字能被它整除，那么这个数就叫做素数。

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二.素数的基础判断

大家都知道，对于素数判断，我们有一个时间复杂度为 \(O(\sqrt{(n)})\) 的算法。

bool isprime (int n) {
	for (int i = 2; i <= sqrt (n); i ++) {
		if (n % i == 0) {
			return false;
		}
	}
	
	return true;
}

但是这个时间复杂度对于某些较大的数字无法通过。

这样，就诞生了一个更高效的素数判断方法：Miller Rabin。

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三.费马小定理

若 \(p\) 为素数，整数 \(a\) 与 \(p\) 互素，则 \(a^{p-1} \equiv 1\pmod p\)。

我们设\(d×2^{r}=p-1\)，那么式子就转化为 \(a^{d · 2^r} \equiv 1\pmod p\)。

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四.二次探测定理

若 \(p\) 为素数，整数 \(x<p\) ，那么对于 \(x^2 \equiv 1 \pmod p\) 的解 \(x\) 为 \(1\) 或 \(p - 1\)。

证明：

上述式子可以化为 \(x^2-1^2 \equiv 0 \pmod p\)。

根据平方差公式：\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)，

可以将上述式子化为： \((x+1)(x-1) \equiv 0 \pmod p\)。

因为 \(p\) 为素数，那么 \((x+1)(x-1) = 0\) 或 \((x+1)(x-1)\) 为 \(p\) 的倍数。

那么，当 \((x+1)(x-1) = 0\) 时，显然 \(x=1\)。

当 \(p∣(x+1)(x-1)\) 时，\(x=p + 1\) 或 \(x=p-1\)。

由于 \(x<p\)，所以 \(x=p + 1\) 不成立。

所以 \(x=1\) 或 \(x=p-1\)。

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两个定理结合起来，对于以下两个式子，最少有一个式子被满足：

• \(a^d \equiv 1 \pmod p\)。

• 对于 \(0 \le i < r\)， \(a^{d · 2^i} \equiv -1\pmod p\)。

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五.\(Miller Rabin\) 素数判断

\(Miller Rabin\) 素数判断的过程如下：

将 \(p-1\) 中的因子 \(2\) 个数提取出来，先设 \(d=p-1\)，取
\(k\) 个数 \(1<a_1,a_2,a_3......a_k<p\) 带入上述公式判断是否构成条件。

对于 \(a\) 的个数，设一个适合的数字即可，在 \(7-15\) 之间都可以，经过测试，取前 \(k\) 个素数即可。

而这个算法对于 \(long\) \(long\) 范围之间的数的误差率几乎为 \(0\)。

时间复杂度为 \(O(k \log p)\)。

核心代码如下：

inline bool Miller_Rabin (ll n, ll a) {
	ll d = n - 1, r = 0;
	
	while (!(d & 1)) {//分解出所有的因子2。 
		r ++;
		d >>= 1;
	}
	
	ll adn = ksm (a, d, n);
	
	if (adn == 1) {//满足公式1。 
		return true;
	}
	
	for (int i = 0; i < r; i ++) {
		if (adn == n - 1) {//满足公式2。 
			return true;
		}
		
		adn = mul (adn, adn, n); //不断乘2的i次幂。
	}
	
	return false;
}