「学习笔记」笛卡尔树

一.笛卡尔树的概念#

笛卡尔树是一种二叉树，能帮助我们查询区间最值，第 $k$ 极值。每一个节点都由两个值构成，分别为 $key$ 和 $value$ 。要求 $key$ 值满足二叉查找树的性质， $value$ 值满足堆的性质，如下图所示（源于维基百科）。

我们在上图可以发现，在这颗笛卡尔树中，以数组元素为 $value$ 值，以数组下标为 $key$ 值。

并且，上图的 $key$ 值满足二叉查找树的性质， $value$ 值满足小根堆的性质，这就是一颗笛卡尔树了。

附：

二叉查找树的性质有三条：

$1.$ 左子树上所有节点的值都小于等于它的根节点的值。

$2.$ 右子树上所有节点的值都大于等于它的根节点的值。

$3.$ 左、右子树也为二叉查找树。

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二.笛卡尔树的构建#

首先，我们将 $key$ 值从小到大进行排序，再逐个插入笛卡尔树中。那么，我们每次插入的元素必然在这颗笛卡尔树的右链的末端，因为我们的 $key$ 值是从小到大排序的，那么按照二叉查找树的定义，每次插入的节点肯定要排在这颗树的右链上。

那么，我们每次进行插入的过程就如下：

我们从当前右链的底部从下到上遍历，一直比较当前节点 $u$ 和右链节点上的 $value$ 值，如果找到一个右链节点 $v$，构成 $v_{value}<u_{value}$，就将节点 $u$ 插到节点 $v$ 的右子节点上，那么原来节点 $v$ 的右子树就变为节点 $u$ 的左子树了。

下面给出一张摘自oi-wiki的图片供大家参考，红框部分为右链。

我们采用单调栈来维护右链。可以发现，每个点最多进出单调栈一次，也就是说，我们的时间复杂度是 $O(N)$ 。

代码如下：

Copy
	sta[1] = 1; 
	//以1为初始栈顶。
		
	for (int i = 2; i <= n; i ++) {//ls为左子节点，rs为右子节点。 
		while (a[sta[top]] > a[i] && top) {
			top --;
	        //弹栈，找与当前元素小于等于的元素。
		}
		
		if (!top) {
			//如果右链上的节点都比当前元素小，那么当前节点就是右链的链顶。 
			ls[i] = sta[top + 1];	
			//那么原来的栈顶就是当前元素的左子节点。 
	        }
	    
		else {
			ls[i] = rs[sta[top]];
			//将当前节点插入栈顶节点的下方，那么栈顶节点的左子节点就要变为当前节点的左子节点。 
			rs[sta[top]] = i;
			// 当前节点就是栈顶节点的右子节点。 
		}
		
	    sta[++ top] = i;
	    //将key值入栈。 
	}

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三.例题#

例题 $1$：#

P5854 【模板】笛卡尔树

这是笛卡尔树的模板题。

只要按照题目给出的排列 $p$ 作为每个节点的 $value$ 值建树，最后根据题目给出的两个公式计算答案即可。

核心代码与模块二的构建笛卡尔树代码相同，不放代码了。

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例题 $2$：#

P1377 [TJOI2011]树的序

依旧是比较模板的一道笛卡尔树题。

我们只要将题目给出的生成序列当做 $key$ 值，把输入顺序当作 $value$ 值就可以转换成模板题了。

最后，题目要求字典序最小，于是我们转化为先序遍历输出即可。

核心代码如下：

Copy
void dfs (int x) {
	//先序遍历输出。
	if (x) {
		printf ("%d ", x);
		dfs (ls[x]);
		dfs (rs[x]);
	}
}

for (int i = 1, x; i <= n; i ++) {
	scanf ("%d", &x);
    //将题目给定的生成序列当做key值。
	a[x] = i;
    //将输入顺序当做value值。
}

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例题 $3$：#

SP1805 HISTOGRA - Largest Rectangle in a Histogram

很经典的一道求最大矩阵的题目。

很显然，我们可以用笛卡尔树轻松完成。

我们可以先构建笛卡尔树，从根节点，也就是单调栈中的第一个节点开始遍历。

我们设一个为 节点 $x$ 为根的子树大小为 $siz_x$，那么，我们只需要找到一个最大的 $(ls_{siz_i}+rs_{siz_i}+1)$ $× h_i$ 就是最后的答案。

多测记得清空！！！

代码如下：

Copy
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N = 200005;

typedef long long ll;

int n, top = 1, ls[N], rs[N];

ll ans, siz[N], sta[N], a[N];

void dfs (ll x) {
	if (ls[x]) {
		dfs (ls[x]);
	}
	
	if (rs[x]) {
		dfs (rs[x]);
	}
	
	siz[x] = siz[ls[x]] + siz[rs[x]] + 1;
	
	ans = max (ans, siz[x] * a[x]);
}

int main() {
	while (scanf ("%d", &n) != EOF && n) { 
		memset (a, 0, sizeof (a));
		memset (siz, 0, sizeof (siz));
		memset (ls, 0, sizeof (ls));
		memset (rs, 0, sizeof (rs));
	
		for (int i = 1; i <= n; i ++) {
			scanf ("%d", &a[i]); 
		}
		
		sta[1] = 1, ans = 0, top = 1;
		
		for (int i = 2; i <= n; i ++) {
			while (a[sta[top]] > a[i] && top) {
				top --;
			}
			
			if (!top) {
				ls[i] = sta[top + 1];
			}
			
			else {
				ls[i] = rs[sta[top]];
				rs[sta[top]] = i;
			}
			
			sta[++ top] = i;
		}
		
		dfs (sta[1]);
		
		printf ("%lld\n", ans);
	}
	
	return 0;
} 

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四.参考资料#

感谢以下作者，若有侵权请联系删除。

https://blog.csdn.net/weixin_34349320/article/details/93762012

https://oi-wiki.org/ds/cartesian-tree/