贝塞尔曲线

一、概述

　　贝塞尔曲线（The Bézier Curves），是一种在计算机图形学中相当重要的参数曲线（2D，3D的称为曲面）。贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。

 

二、三种曲线

• 线性曲线

给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

 

当参数t变化时，其过程如下：

 

线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P0至P1的B（t）所描述的曲线。例如当t=0.25时，B（t）即一条由点P0至P1路径的四分之一处。就像由0至1的连续t，B（t）描述一条由P0至P1的直线。

 

• 二次曲线

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：

 

为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q0和Q1作为由0至1的t：

* 由P0至P1的连续点Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。

* 由P1至P2的连续点Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。

* 由Q0至Q1的连续点B（t），描述一条二次贝塞尔曲线。

二次曲线看起来就是这样的：

 

• 三次曲线

为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建构。

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：

看起来就是这样的：

 

三、绘制贝塞尔曲线

　　要绘制规则图形在iOS中相当简单，但是不规则图形怎么绘制呢？此时就要利用路径。前面我们绘制了直线，它和曲线绘制都属于路径绘制。和直线绘制相比曲线绘制就要复杂一些，但是路径作为高级动画的基础又是我们必须掌握的，因此这里我们就一起来熟悉一下曲线绘制。在Quartz 2D中曲线绘制分为两种：二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线。二次曲线只有一个控制点，而三次曲线有两个控制点，如下图所示：

 

当然，在iOS中两种曲线分别对应两种方法：

CGContextAddQuadCurveToPoint(CGContextRef c, CGFloat cpx, CGFloat cpy, CGFloat x, CGFloat y);

CGContextAddCurveToPoint(context, CGFloat cp1x, CGFloat cp1y, CGFloat cp2x, CGFloat cp2y, CGFloat x, CGFloat y);

下面就演示一下这两种曲线的绘制方法

#pragma mark 绘制贝塞尔曲线
-(void)drawCurve:(CGContextRef)context{
    
    //绘制曲线
    CGContextMoveToPoint(context, 20, 100);//移动到起始位置
    /*绘制二次贝塞尔曲线
     c:图形上下文
     cpx:控制点x坐标
     cpy:控制点y坐标
     x:结束点x坐标
     y:结束点y坐标
    */
    CGContextAddQuadCurveToPoint(context, 160, 0, 300, 100);
    
    CGContextMoveToPoint(context, 20, 500);
    /*绘制三次贝塞尔曲线
     c:图形上下文
     cp1x:第一个控制点x坐标
     cp1y:第一个控制点y坐标
     cp2x:第二个控制点x坐标
     cp2y:第二个控制点y坐标
     x:结束点x坐标
     y:结束点y坐标
    */
    CGContextAddCurveToPoint(context, 80, 300, 240, 500, 300, 300);
    
    //设置图形上下文属性
    [[UIColor yellowColor]setFill];
    [[UIColor redColor]setStroke];
    
    
    //绘制路径
    CGContextDrawPath(context, kCGPathFillStroke);
    
}

 

运行效果：

备注:贝塞尔曲线是由法国数学家“贝塞尔”发现的，他发现：任何一条曲线都能够由和它相切的直线的两个端点来描述，这种曲线表示方式后来被广泛应用到计算机中，称为“贝塞尔曲线”。

 

 

 

转载自Kenshin Cui's Blog.