autograd手动仿真手记

Preface

查看损失函数的时候，突然想手工模拟梯度传递过程。

Script

损失函数是这个:　\(l(x)=-||x| - |x-1||\)。程序脚本:

import mxnet as mx;import numpy as np;import mxnet.autograd as ag
x=mx.nd.zeros((1,))+2
x.attach_grad()
with ag.record():
    l=-mx.nd.abs( mx.nd.abs(x) - mx.nd.abs(x-1.)   )
    l.backward(mx.nd.ones_like(l))
print x,l,'x.grad:',x.grad

先回顾一下梯度传递的理论基础:如果\(y=f(z(x))\)，其中\(f,z\)都可看作不同layer代表的映射，那么需要求得对\(x\)的梯度，易于推广的方法是链式法则:

\[y_x = f_z(z)\times z_x(x) \]

得到普遍应用的原因是易于模块化，每个layer只需要把自己那部分设计好，就可以支持构建自定义系统。
明白这点后，模拟过程最好就是列表:
比如现在\(x=2\)

Symbol	Op	Input	Output	Grad
x	| |	2	2	-1x1=-1
x-1	+	2	1	1x1=1
|x-1|	| |	1	1	1x1/1=1
|x|-|x-1|	+,-	2, 1	1	-1x1=-1, -1x-1=1
| |x| - |x-1| |	| |	1	1	-1 x 1/1=-1
-| |x| - |x-1| |	-	1	-1	1 x -1 =-1
l				1

绝对值的导数:\(f(x)=|x| \Rightarrow f^,(x)=\frac{x}{f(x)}\)
填写Input/Output的过程类似于Forward过程；计算Grad类比于Backward，需要从表格底部算起。
x的节点被复用一次:\(grad_x=1+(-1)=0\)

Note

\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)处，MXNet使用的应该是置零操作。参考\(x=0\Rightarrow 1, x=0.5\Rightarrow 0, x=1\Rightarrow -1\)