回忆一下关于
元实值函数的
的求导问题,函数
的一阶导数
为
![\large Df\triangleq \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_{1}},&\frac{\partial f}{\partial x_{2}}, &\cdots, & \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \end{bmatrix}](https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cdpi%7B120%7D&space;%5Cfn_jvn&space;%5Clarge&space;Df%5Ctriangleq&space;%5Cbegin%7Bbmatrix%7D&space;%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;f%7D%7B%5Cpartial&space;x_%7B1%7D%7D,&%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;f%7D%7B%5Cpartial&space;x_%7B2%7D%7D,&space;&%5Ccdots,&space;&&space;%5Cfrac%7B%5Cpartial&space;f%7D%7B%5Cpartial&space;x_%7Bn%7D%7D&space;%5Cend%7Bbmatrix%7D)
函数
的梯度
正好是导数
的转置,即
;函数
的二阶导数,也称为hessian矩阵,可表示为:
函数
对于向量
这也是一个实值函数,如果
应用链式法则,可得
由此可见,当
一阶必要条件:多元实值函数
成立。
推论:局部极小点位于约束集内部时的一阶必要条件:多元实值函数
成立。
局部极小点的二阶必要条件:多元实值函数
其中,H为函数f的hessian矩阵。
hessian矩阵
局部极小点的二阶充分条件(局部极小点为内点):多元实值函数
1
2
则
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