跳台阶

目录

问题描述
  解法一

问题描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

解法一

解答：
1.设置一个全局变量time默认为零，模拟跳的过程，当跳到最终台阶的时候time加一。此方法耗时长。

public  int time=0;
public int JumpFloor(int target) {
    Jump(target);
    return time;
}
public void Jump(int target) {
    if(target==1){
        time++;
    }else if(target==2){
        time++;
        Jump(1);
    }else {
        Jump(target-1);
        Jump(target-2);
    }
}

public static void main(String[] args) {
    System.out.println(new Q_8().JumpFloor(3));
}

2.类似斐波那契数列
思想：n个台阶的跳法=n-1个台阶的跳法+n-2个台阶的跳法

public int JumpFloor(int target) {
    if(target <= 2){
        return target;
    }
    int pre2 = 1, pre1 = 2;
    for (int i = 3; i <= target; i++){
        int cur = pre2 + pre1;
        pre2 = pre1;
        pre1 = cur;
    }
    return pre1;
}

底下附牛客的笔记
链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/8c82a5b80378478f9484d87d1c5f12a4?answerType=1&f=discussion
来源：牛客网

方法一：递归
题目分析，假设f[i]表示在第i个台阶上可能的方法数。逆向思维。如果我从第n个台阶进行下台阶，下一步有2中可能，一种走到第n-1个台阶，一种是走到第n-2个台阶。所以f[n] = f[n-1] + f[n-2].
那么初始条件了，f[0] = f[1] = 1。
所以就变成了：f[n] = f[n-1] + f[n-2], 初始值f[0]=1, f[1]=1，目标求f[n]
看到公式很亲切，代码秒秒钟写完。

int Fibonacci(int n) {
    if (n<=1) return 1;
    return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
}

优点，代码简单好写，缺点：慢，会超时
时间复杂度：O(2^n)
空间复杂度：递归栈的空间

方法二：记忆化搜索

拿求f[5] 举例

通过图会发现，方法一中，存在很多重复计算，因为为了改进，就把计算过的保存下来。
那么用什么保存呢？一般会想到map， 但是此处不用牛刀，此处用数组就好了。

int Fib(int n, vector<int>& dp) {
    if (n<=1) return 1;
    if (dp[n] != -1) return dp[n];
    return dp[n] = Fib(n-1) + Fib(n-2);
}
int Fibonacci(int n) {
    vector<int> dp(45, -1); // 因为答案都是>=0 的， 所以初始为-1，表示没计算过
    return Fib(n, dp);
}

时间复杂度：O（n）， 没有重复的计算
空间复杂度：O（n）和递归栈的空间

方法三：动态规划
虽然方法二可以解决此题了，但是如果想让空间继续优化，那就用动态规划，优化掉递归栈空间。
方法二是从上往下递归的然后再从下往上回溯的，最后回溯的时候来合并子树从而求得答案。
那么动态规划不同的是，不用递归的过程，直接从子树求得答案。过程是从下往上。

int Fibonacci(int n) {
    vector<int> dp(n+1, 0);
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for (int i=2; i<=n; ++i) {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        }
        return dp[n];
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

继续优化

发现计算f[5]的时候只用到了f[4]和f[3], 没有用到f[2]...f[0],所以保存f[2]..f[0]是浪费了空间。
只需要用3个变量即可。

int Fibonacci(int n) {
     if (n == 0 || n == 1) return n;
        int a = 1, b = 1, c;
        for (int i=2; i<=n; ++i) {
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
}

时间复杂度：O（n）
空间复杂度：O（1）

作者：静默虚空
欢迎任何形式的转载，但请务必注明出处。
限于本人水平，如果文章和代码有表述不当之处，还请不吝赐教。