指派问题与匈牙利解法
指派问题概述：
实际中，会遇到这样的问题，有n项不同的任务，需要n个人分别完成其中的1项，每个人完成任务的时间不一样。于是就有一个问题，如何分配任务使得花费时间最少。
通俗来讲，就是n*n矩阵中，选取n个元素，每行每列各有1个元素，使得和最小。
如下图：
指派问题性质：
指派问题的最优解有这样一个性质，若从矩阵的一行(列)各元素中分别减去该行(列)的最小元素，得到归约矩阵，其最优解和原矩阵的最优解相同．
匈牙利法：
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7 |
9 |
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14 |
6 |
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4 |
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7 |
10 |
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1.行归约：
每行元素减去该行的最小元素
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2 |
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0 |
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3 |
6 |
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2.列归约：
每列元素减去该列的最小元素
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0 |
2 |
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2 |
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3 |
6 |
5 |
3.试指派：
(1)找到未被画线的含0元素最少的行列，即，遍历所有未被画线的0元素，看下该0元素所在的行列一共有多少个0，最终选取最少个数的那个0元素。
(2)找到该行列中未被画线的0元素，这就是一个独立0元素。对该0元素所在行和列画线。
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0 |
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3 |
6 |
5 |
(3)暂时不看被线覆盖的元素，重复(1)(2)直到没有线可以画。
(4)根据(2)找到的0元素个数判断，找到n个独立0元素则Success，小于n个则Fail.（本例子中，n=5，可以看到，第一次试指派之后，独立0元素有4个，不符合）
4.画盖0线：
目标：做最少的直线数覆盖所有0元素，直线数就是独立0元素的个数。
注意：这跟3的线不同；不能用贪心法去画线，比如
1 0 0
1 1 0
1 0 1
若先画横的，则得画3条线，实际只需2条；若先画竖的，将矩阵转置后同理。
步骤3得出的独立0元素的位置
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6 |
3 |
6 |
5 |
(1)对没有独立0元素的行打勾、
(2)对打勾的行所含0元素的列打勾
(3)对所有打勾的列中所含独立0元素的行打勾
(4)重复(2)(3)直到没有不能再打勾
(5)对打勾的列和没有打勾的行画画线，这就是最小盖0线。
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3 |
6 |
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√ |
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√ |
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√ |
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0 |
0 |
4 |
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0 |
6 |
3 |
6 |
5 |
√ |
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√ |
5.更新矩阵：
(1)对没有被线划到的数中，找到最小的数。
(2)对没有被线划到的数中，减去最小的数。
(3)对被2条线划到的数中，加上最小的数。
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0 |
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0 |
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0 |
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0 |
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8 |
0 |
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4 |
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0 |
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1 |
4 |
3 |
6.重复3-5直到成功。
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0 |
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1 |
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0 |
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0 |
0 |
sum = 7+6+9+6+4 = 32
练习：http://soj.me/show_problem.php?pid=1002&cid=1085
注意题目是求最大值，所以需要对矩阵做一点处理。
代码：
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> #include <climits> using namespace std; #define Max 17 int n; //维数 int s[Max][Max]; //原始矩阵 int p[Max][Max]; //归约矩阵 int q[Max][Max]; //0:未被画线 1:画了1次 2: 画了2次(交点) int row[Max], col[Max]; //行列0元素个数 int r[Max][Max]; //0:非0元素 1:非独立0元素 2:独立0元素 int x[Max],y[Max]; //画线时是否被打勾，1是0不是 //数每行每列的0元素个数 void countZero() { memset(row, 0, sizeof(row)); memset(col, 0, sizeof(col)); memset(r, 0, sizeof(r)); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { if (p[i][j] == 0) row[i]++, col[j]++; } } } //画最少的线覆盖所有0元素 int drawLine() { memset(q, 0, sizeof(q)); for (int i = 0; i < n; ++i) x[i] = 1, y[i] = 0; //row 对所有不含独立0元素的行打勾！ for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < n; ++j) { if (r[i][j] == 2) { x[i] = 0; break; } } } bool is = 1; while (is) //循环直到没有勾可以打 { is = 0; //col 对打勾的行中含0元素的未打勾的列打勾 for (int i = 0; i < n; ++i) { if (x[i] == 1) { for (int j = 0; j < n; ++j) { if (p[i][j] == 0 && y[j] == 0) { y[j] = 1; is = 1; } } } } //row 对打勾的列中含独立0元素的未打勾的行打勾 for (int j = 0; j < n; ++j) { if (y[j] == 1) { for (int i = 0; i < n; ++i) { if (p[i][j] == 0 && x[i] == 0 && r[i][j] == 2) { x[i] = 1; is = 1; } } } } } //没有打勾的行和有打勾的列画线，这就是覆盖所有0元素的最少直线数 int line = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (x[i] == 0) { for (int j = 0; j < n; ++j) q[i][j]++; line++; } if (y[i] == 1) { for (int j = 0; j < n; ++j) q[j][i]++; line++; } } return line; } //找独立0元素个数 /*1.找含0最少的那一行/列 2.划掉，更新该行/列0元素所在位置的row[],col[] 3.直到所有0被划线，这里定义为row[]col[]全为INT_MAX,表示该行/列无0元素*/ int find() { countZero(); int zero = 0; //独立0元素的个数 while (1) { //row[i] = INT_MAX表示该行无0元素，防止与*min_element()冲突 for (int i = 0; i < n; ++i) { if (row[i] == 0) row[i] = INT_MAX; if (col[i] == 0) col[i] = INT_MAX; } bool stop = 1; if (*min_element(row, row+n) <= *min_element(col, col+n)) //行最少0元素 { //找含0最少的那一行 int tmp = INT_MAX, index = -1; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (tmp > row[i]) tmp = row[i], index = i; } /*找该行任意一个没被划掉的0元素(独立0元素)，找到一个就行*/ int index2 = -1; //该行独立0元素的列值 for (int i = 0; i < n; ++i) if (p[index][i] == 0 && col[i] != INT_MAX) { index2 = i; stop = 0; //找到独立0元素则继续循环 zero++; //独立0元素的个数 break; } //找不到独立0元素了 if (stop) break; //标记 row[index] = col[index2] = INT_MAX; r[index][index2] = 1; //独立0元素，等等会++. //更新其所在行列的col,row for (int i = 0; i < n; ++i) if (p[index][i] == 0 && col[i] != INT_MAX) //若该行还有0且没被划掉才更新 col[i]--; for (int i = 0; i < n; ++i) if (p[i][index2] == 0 && row[i] != INT_MAX) row[i]--; } else //列最少0元素 { int tmp = INT_MAX, index = -1; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (tmp > col[i]) tmp = col[i], index = i; } int index2 = -1; for (int i = 0; i < n; ++i) if (p[i][index] == 0 && row[i] != INT_MAX) { index2 = i; stop = 0; zero++; break; } if (stop) break; row[index2] = col[index] = INT_MAX; r[index2][index] = 1; for (int i = 0; i < n; ++i) if (p[index2][i] == 0 && col[i] != INT_MAX) col[i]--; for (int i = 0; i < n; ++i) if (p[i][index] == 0 && row[i] != INT_MAX) row[i]--; } } //r[i][j] 0:非0元素 1:非独立0元素 2:独立0元素 for (int i = 0; i < n; ++i) for (int j = 0; j < n; ++j) if (p[i][j] == 0) r[i][j]++; return zero; } int main() { int m; cin >> m; while (m--) { cin >> n; for (int i = 0; i < n; ++i) for (int j = 0; j < n; ++j) cin >> s[i][j]; //行归约 for (int i = 0; i < n; ++i) for (int j = 0; j < n; ++j) p[i][j] = *max_element(s[i], s[i]+n)-s[i][j]; //求和最大 //p[i][j] = s[i][j]-*min_element(s[i],s[i]+j); //求和最小 //列归约 for (int j = 0; j < n; ++j) { int tmp = INT_MAX; for (int i = 0; i < n; ++i) { if (tmp > p[i][j]) tmp = p[i][j]; } for (int i = 0; i < n; ++i) p[i][j] -= tmp; } while (find() < n) { drawLine(); //最小的未被划线的数 int min = INT_MAX; for (int i = 0; i < n; ++i) for (int j = 0; j < n; ++j) if (q[i][j] == 0 && min > p[i][j]) min = p[i][j]; //更新未被划到的和交点 for (int i = 0; i < n; ++i) for (int j = 0; j < n; ++j) if (q[i][j] == 0) p[i][j] -= min; else if (q[i][j] == 2) p[i][j] += min; } //求和 int ans = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) for (int j = 0; j < n; ++j) if (r[i][j] == 2) ans += s[i][j]; cout << ans << endl; } }
