前缀、中缀、后缀之间的转换

1、概念理解： 对表达式的记法常见的有三种，即熟知的中缀记法，还有计算机所读取的前缀（波兰PN）记法后缀（逆波兰RPN）记法。三者之间区分依据是运算符相对于操作数的位置——前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前，中缀表达式则是运算符位于操作数之间，而后缀表达式则是运算符位于操作数之后。PS：前（后）缀记法都是不需要括号的

2.1 后缀表达式的计算结果：

　　规则：从左到右遍历表达式的每一个数字和符号，遇到是数字就进栈，遇到是符号，就将处于栈顶两个数字出栈，进行运算（次顶数字 option 栈顶数字），运算结果进栈，一直到获得最终结果。

   例子：9 3 1- 3 *+10 2/+

　　(1) 从左至右扫描，将9 3 1按顺序压入堆栈；
　　(2) 遇到 - 运算符，因此弹出1和3（1为栈顶元素，3为次顶元素），计算出3-1的值，得2，再将2入栈；
　　(3) 将3入栈；
　　(4) 接下来是 * 运算符，因此弹出3和2，计算出2×3=6，将6入栈；
　　(5) 遇到 + 运算符，因此弹出6和9，计算出9+6的值，得15，再将15入栈；
　　(6) 将10,2入栈；
　　(7) 接下来是 / 运算符，因此弹出2和10，计算出10/2=5，将5入栈；
　　(8) 最后是 + 运算符，计算出15+5的值，即20，出栈，由此得出最终结果。

2.2中缀表达式转为后缀表达式

   规则：从左到右遍历中缀表达式的每一个数字和符号，若是数字就输出，即为后缀表达式中的一部分；若是符号，则判断其与栈顶符号的优先级，是右括号或优先级低于栈顶符号则栈顶元素（符号）依次出栈并输出并将当前符号进栈（ps：若当前符号优先级与栈顶相同则弹出栈顶元素并输出），一直到最终输出后缀表达式为止。

遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

   例子：9+（3-1）*3+10/2

      (1) 从左至右扫描，将9输出，+ （入栈；  输出：9
　　(2) 遇到3输出，( - 入栈 ，1输出； 输出：9 3 1

　　(3) 遇到运算符），因此 - 出栈并输出； 输出：9 3 1 -
　　(4) 接下来是 * 运算符入栈，优先级高于 + ，因此不输出； 输出：9 3 1 -
　　(5) 3输出，遇到 + ，优先级低于 * ，所以* 输出；  输出：9 3 1- 3*

     (6)没有比+ 更低优先级，所以全部出栈，并将当前符号“+” 进栈； 输出：9 3 1 -3 * +
　　(6) 将10输出，/  入栈 ，优先级高于 + 不输出； 输出 ：9 3 1 - 3* +10
　　(7) 接下来是2输出，没有其他运算符入栈，所有运算符出栈并输出； 输出： 9 3 1 - 3*+10 2 /+

　　综上：让计算机出来通常标准的中缀表达式，最重要的两步：

    　　1） 将中缀表达式转为后缀表达式（栈用来进出运算的符号）

    　　2）将后缀表达式进行运算得出结果（栈用来进出运算的数字）

3.1 前缀表达式的计算机求值：
    规则：从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 option 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。

    例如：前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：

　　(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
　　(2) 遇到+运算符，弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
　　(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
　　(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。

3.2 将中缀表达式转换为前缀表达式：
遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。