单纯看懂公式的单位根反演

前言

很久以前就听说是个挺有用的东西，然而一直没有去学。

最近打算恶补一下数学，像类欧啊，单位根反演啊，斯特林反演啊，都决定去写篇博客装装样子、充充门面。

于是，我来了。

大致用途

在\(O(k)\)的时间内求出一个数列中所有下标为\(k\)的倍数的数值和。

当然，它也同样可以应用于生成函数中发挥神奇的作用。

公式

\[[k|n]=\frac 1k\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{ni} \]

开局上公式的操作让我不禁想到拉格朗日插值。

考虑如何证明，自然是分两类讨论。

当\(k|n\)时：

\[\frac1k\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{ni}=\frac1k\sum_{i=0}^{k-1}(\omega_k^n)^i=\frac 1k\times k=1 \]

当\(k\not|n\)时：

\[\frac1k\sum_{i=0}^{k-1}\omega_k^{ni}=\frac 1k\cdot \omega_k^0\cdot\frac{\omega_k^0-\omega_k^{kn}}{1-\omega_k^n}=\frac 1k\cdot \omega_k^0\cdot 0=0 \]

证明完毕。

这篇博客就是当个摆设的，例题什么的看情况再补吧。