倍增LCA

前言

在做树上问题时，我们经常会遇到 \(LCA\)（最近公共祖先）问题。曾经的我遇到这类问题只会\(O(n)\)暴力求解，学了倍增\(LCA\)，就可以\(O(logn)\)解决了。

简介

倍增\(LCA\)，顾名思义，就是利用倍增来求解\(LCA\)（这真的是简介）。

主要思路

• 我们可以用\(fa[i][j]\)来记录\(i\)的第\(2^j\)个祖先。
• 然后，对于每一次询问\(LCA(x,y)\)，我们先找到\(x\)和\(y\)最近的深度相同的祖先。
• 接下来，我们先倍增找到最近的\(x\)和\(y\)的刚好为\(2^j\)的公共祖先。
• 然后，我们不断减小\(j\)，若当前\(fa[x][j]!=fa[y][j]\)，我们就更新\(x=fa[x][j]\)，\(y=fa[y][j]\)，这样就可以保证修改后\(fa[x][j]=fa[y][j]\)了。

一个简短的证明

因为我们已经保证修改前的\(fa[x][j+1]=fa[y][j+1]\)了
并且，显然可得，\(fa[fa[x][j]][j]=fa[x][j+1]\)，\(fa[fa[y][j]][j]=fa[y][j+1]\)（\(x\)的第\(2^j\)个祖先的第\(2^j\)个祖先即为\(x\)的第\(2^{j+1}\)个祖先，\(y\)同理）
因此，修改后的\(fa[x][j]\)和\(fa[y][j]\)就等同于修改前的\(fa[x][j+1]\)和\(fa[y][j+1]\)
得证，我们可以保证修改后\(fa[x][j]=fa[y][j]\)

• 最后返回\(fa[x][0]\)即可。

代码

inline int LCA(int x,int y)//求x和y的最近公共祖先
{
	register int i;int k;
	if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);//比较x和y的深度，选择深度较大的节点，寻找它的与深度较小的节点深度一样的祖先
	for(i=0;dep[x]^dep[y];++i) if((dep[x]^dep[y])&(1<<i)) x=fa[x][i];//如上
	if(!(x^y)) return x;//如果x==y，返回x
	for(k=0;fa[x][k]^fa[y][k];++k);//我们先倍增找到最近的x和y的刚好为2^j的公共祖先
	for(;k>=0;--k) if(fa[x][k]^fa[y][k]) x=fa[x][k],y=fa[y][k];//不断减小j，若当前fa[x][j]!=fa[y][j]，我们就更新x=fa[x][j]，y=fa[y][j]
	return fa[x][0];//最后返回x的父亲
}