启发式合并

操作方法

将两个数据结构合并时，应将小的数据结构中的元素一个一个分别插入大的数据结构。

时间复杂度及其证明

如果题目只有插入操作，则总复杂度应为\(O(nlogn)\)，均摊\(O(logn)\)。

证明：因为每次合并，所有数据结构总大小为\(n\),设两个数据结构大小为\(x,y(n≥x≥y)\)，则时间复杂度为\(O(y)\)，数据结构大小将变为\(x+y\)，最坏情况下合并一次的复杂度也只能为\(O(n)\)，又因为最多只能合并\(logn\)次，所以总时间复杂度为\(O(nlogn)\)。

注明：若不仅有插入操作，还有分裂操作，总复杂度就不一定是\(O(nlogn)\)了，但这种题目比较少见。实在不行，我们还有路径压缩啊。

应用

典型应用就是并查集中的按秩合并。

例题

有一道很毒瘤的题目，启发式合并两棵主席树：【BZOJ3123】[SDOI2013] 森林。