除法分块及其应用

前言

除法分块，是数论题中一个比较常见的优化技巧，可以将某些\(O(n)\)算法优化成\(O(\sqrt n)\)。

主要思想

让我们来看一下这个式子：\(\sum_{i=1}^N\lfloor\frac Ni\rfloor\)

不难发现，在一定范围内\(\lfloor\frac Ni\rfloor\)的值是保持不变的（这个范围是\(i\sim\lfloor\frac N{\lfloor\frac Ni\rfloor}\rfloor\)）。

如果用\(l\)表示\(i\)，\(r\)表示\(\lfloor\frac N{\lfloor\frac Ni\rfloor}\rfloor\)，由于这段的值是一样的（均为\(\lfloor\frac Ni\rfloor\)），而个数又是已知的（即\(r-l+1\)个），所以我们可以快速算出这一段值的和为\((r-l+1)*\lfloor\frac Ni\rfloor\)。

也就是说，在值不变的情况下，我们是可以\(O(1)\)求解答案的。

而\(\lfloor\frac Ni\rfloor\)的值实际上总共只有大约\(\sqrt N\)种。

于是，我们就将\(O(N)\)优化至了\(O(\sqrt N)\)。