【UOJ422】【集训队作业2018】小Z的礼物（Min-Max容斥+轮廓线DP）

点此看题面

• 一个\(n\times m\)的网格图，其中有一些关键点。
• 一次操作会随机选中相邻的一对点（一个点可能选中多次），求所有关键点都被选中的期望次数。
• \(n\le6,m\le100\)

\(Min-Max\)容斥

\(Min-Max\)容斥的基本公式：

\[E(max(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}E(min(T)) \]

因此，我们就可以把所有关键点都被选中的限制，转化为其中一个关键点被选中。

然而\(n\times m\le600\)肯定不可能直接暴枚子集。

考虑\(E(min(T))\)，设\(c(T)\)为包含至少一个\(x\in T\)的相邻点对数，那么就有：

\[E(min(T))=\frac{n\times(m-1)+(n-1)\times m}{c(T)} \]

所以只要把\(c(T)\)设入状态，然后\(DP\)计数即可。

简单的轮廓线\(DP\)计数

我们设\(f_{i,j,k,p}\)表示\(DP\)到位置\((i,j)\)，\(c(T)=k\)，前\(n\)个位置（轮廓线）选择状态为\(p\)时\((-1)^{|T|-1}\)之和。

转移就考虑当前位置是否选择：

• 如果不选择，判断\((i,j-1)\)和\((i-1,j)\)是否存在及是否选择，选择则分别给\(k\)加上\(1\)，然后直接转移。
• 如果选择（当前点必须是关键点），判断\((i,j-1)\)和\((i-1,j)\)是否存在，存在则分别给\(k\)加上\(1\)，然后乘上\(-1\)的系数转移。

最后每个\(c(T)\)对应的\((-1)^{|T|-1}\)之和就应该是\(\sum_pf_{n,m,c(T),p}\)。

代码：\(O(n^2m^22^n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 6
#define M 100
#define X 998244353
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=X&&(x-=X))
using namespace std;
int n,m,f[N+5][M+5][N*M<<1][1<<N];char a[N+5][M+5];
I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
int main()
{
	RI i,j,k,p,s,l;for(scanf("%d%d",&n,&m),s=n*(m-1)+(n-1)*m,l=1<<n,i=1;i<=n;++i) scanf("%s",a[i]+1);
	RI x,y;for(f[1][1][0][0]=X-1,f[1][1][0][1]=a[1][1]=='*',j=1;j<=m;++j) for(i=1;i<=n;++i)//初始状态考虑(1,1)两种填法
		if(x=i+1,y=j,x>n&&(x=1,++y),y<=m) for(k=0;k<=s;++k) for(p=0;p^l;++p) f[i][j][k][p]&&
		(
			Inc(f[x][y][k+(x^1&&p&1)+(y^1&&p>>n-1&1)][p<<1&(l-1)],f[i][j][k][p]),//如果当前位置不选择
			a[x][y]=='*'&&(Inc(f[x][y][k+(x!=1)+(y!=1)][(p<<1&(l-1))|1],X-f[i][j][k][p]))//如果当前位置选择
		);
	RI t=0;for(k=1;k<=s;++k) for(p=0;p^l;++p) t=(t+1LL*s*QP(k,X-2)%X*f[n][m][k][p])%X;return printf("%d\n",t),0;//根据c(T)统计答案
}