【UOJ105】【APIO2014】 Beads and wires（换根DP）

点此看题面

• 有两种不同的方式来生成一棵树：
  • 将一个新点与一个旧点用红线连接。
  • 把一条红线断开，将一个新点与这两个端点用蓝线连接。
• 规定一棵树的权值为蓝线权值总和。
• 给出最后生成的树（不给出颜色），求可能的最大权值。
• \(n\le2\times10^5\)

推性质

蓝线必然两两成对，不妨把一对蓝线中间的点称为其中点。

显然，一个点不可能成为两对蓝线的中点。

而考虑两条连续的边只有儿子-父亲-另一个儿子和儿子-父亲-父亲的父亲两种情况。

然而这样的情况并不是都合法的，典型的反例：

这里的边可以分为三对儿子-父亲-另一个儿子的情况，但是并不能生成这样的树。（自己去试试就明白了）

所以我们需要转换思路。

一般的\(DP\)转移

考虑我们必然能找到一个点，在以其为根时，只取儿子-父亲-父亲的父亲的蓝色边对能够得到最优解。

先思考不换根时的\(DP\)方程，可以设\(f(x),g(x)\)分别表示不取/取\(x\)为中点时的答案。

转移方程：

\[f(x)=\sum\max\{f(y),g(y)+w_{x,y}\}\\g(x)=\max\{(f(x)-\max\{f(y),g(y)+w_{x,y}\})+f(y)+w_{x,y}\} \]

第一个转移是显然的，第二个转移就是考虑枚举儿子-父亲的边，删掉该儿子原先的贡献强制其不为中点，然后算上这条边的权值（当前点到父节点权值不算在\(g(x)\)内）。

换根\(DP\)

然后考虑换根，用\(A,B\)表示父节点传来的\(f,g\)值。

显然根节点不可能作为中点，因此只需考虑\(f(x)+\max\{A,B+w_{x,fa}\}\)对答案的贡献。

换根时得到的新\(A,B\)应该这样计算：

\[\texttt{new} A=(f(x)-\max\{f(y),g(y)+w_{x,y}\})+\max\{A,B+w_{x,fa}\}\\\texttt{new} B=\max\{g(x)+\max\{A,B+w_{x,fa}\},f(x)+A+w_{x,fa}\}-\max\{f(y),g(y)+w_{x,y}\} \]

注意，\(\texttt{new}B\)的计算中，如果\(g(x)\)是由当前枚举的子节点\(y\)转移得到的，需要改为次大值\(h(x)\)。

其实这两个式子就是对于先前转移方程的稍加变化而已，只是要注意减去当前子节点的贡献，可以自己理解。

代码：\(O(n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 200000
#define add(x,y,z) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y,e[ee].v=z)
using namespace std;
int n,ee,lnk[N+5];struct edge {int to,nxt,v;}e[N<<1];
class FastIO
{
	private:
		#define FS 100000
		#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)
		#define D isdigit(c=tc())
		char c,*A,*B,FI[FS];
	public:
		I FastIO() {A=B=FI;}
		Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);}
		Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
}F;
int f[N+5],g[N+5],h[N+5],s[N+5],tmp[N+5];I void dfs1(CI x=1,CI lst=0)//一般DP转移
{
	RI i,t;for(i=lnk[x];i;i=e[i].nxt) e[i].to^lst&&
		(dfs1(e[i].to,x),f[x]+=(tmp[e[i].to]=max(f[e[i].to],g[e[i].to]+e[i].v)));//不为中点
	for(g[x]=h[x]=-1e9,i=lnk[x];i;i=e[i].nxt) e[i].to^lst&&//作为中点
	(
		t=f[x]-tmp[e[i].to]+f[e[i].to]+e[i].v,//求出当前子节点转移过来的贡献
		t>g[x]?(h[x]=g[x],g[x]=t,s[x]=e[i].to):h[x]=max(h[x],t)//维护最大值、次大值
	);
}
int ans;I void dfs2(CI x=1,CI lst=0,CI A=0,CI B=-1e9,CI pre=-1e9)//换根DP
{
	ans=max(ans,f[x]+max(A,B+pre));//更新ans
	for(RI i=lnk[x],a,b;i;i=e[i].nxt) e[i].to^lst&&
	(
		b=max((s[x]^e[i].to?g[x]:h[x])+max(A,B+pre),f[x]+A+pre)-tmp[e[i].to],
		a=(f[x]-tmp[e[i].to])+max(A,B+pre),dfs2(e[i].to,x,a,b,e[i].v),0//求出newA,newB实现换根
	);
}
int main()
{
	RI i,x,y,z;for(F.read(n),i=1;i^n;++i) F.read(x,y,z),add(x,y,z),add(y,x,z);
	return dfs1(),dfs2(),printf("%d\n",ans),0;
}