后缀数组入门（一）——后缀排序

前言

后缀数组这个东西早就有所耳闻，但由于很难，学了好几遍都没学会。

最近花了挺长一段时间去研究了一下，总算是勉强学会了用倍增法来实现后缀排序（据说还有一种更快的\(DC3\)法，但是要难得多）。

数组定义

首先，为方便起见，我们用后缀\(_i\)表示从下标\(i\)开始的后缀。（相信大家都知道后缀是什么的）

首先，我们需要定义几个数组：

\(s\)：需要进行后缀排序的字符串。

\(SA_i\)：记录排名为\(i\)的后缀的位置。

\(rk_i\)：记录后缀\(_i\)的排名。

\(pos_i\)：同样记录排名为\(i\)的后缀的位置。

\(tot_i\)：用于基数排序，统计\(i\)的排名。

要注意理解这些数组的定义，这样才能明白后面的内容。

第一次操作

首先，让我们来一步步模拟一下第一次操作。

我们第一步是要将每个后缀按照第\(1\)个字符进行排序。

这应该还是比较简单的，不难发现可以初始化得到\(rk_i=s_i,pos_i=i\)。

然后我们对其进行第一次排序。

注意，排序最好用\(O(n)\)的基数排序，用\(sort\)的话会多一个\(log\)。

具体的一些关于基数排序的细节可以见下。

关于基数排序

后缀排序中的基数排序，其实相当于将二元组\((rk_i,pos_i)\)进行排序。

首先，第一步自然是清空\(tot\)数组。

然后，从\(1\)到\(n\)枚举，将\(tot_{rk_i}\)加\(1\)。

接下来是一遍累加，求出每一个元素的排名。

然后从\(n\)到\(1\)倒序枚举，更新\(SA\)数组即可。

接下来的操作

接下来自然是要对每个后缀前\(2\)个字符进行排序了。

暴力的方法就是再重新排序一遍。

但实际上，在确定了第\(1\)个字符的大小关系后，我们就不需要如此麻烦了。

因为后缀\(_i\)的第\(2\)个字符，实际上就是后缀\(_{i+k}\)的第\(1\)个字符。

因此我们通过第一次排序，就可以直接确定第\(2\)个字符的大小关系了。

于是我们就可以重新用\(pos\)数组将这个大小关系记录下来，再次排序。

然后就是按照这种方法来倍增处理第\(4\)个字符、第\(8\)个字符、第\(16\)个字符... ...

重复此操作直至所有后缀各不相同即可。

这样的总复杂度就是\(O(nlogn)\)的了。

具体实现还是有很多细节的，实在没理解的可以根据代码再研究一下。

代码（板子题）

class Class_SuffixSort//后缀排序
{
    private:
        int n,SA[N+5],rk[N+5],pos[N+5],tot[N+5];
        inline void RadixSort(int S)//基数排序，S表示字符集大小
        {
            register int i;
            for(i=0;i<=S;++i) tot[i]=0;//清空数组
            for(i=1;i<=n;++i) ++tot[rk[i]];//从1到n枚举，将tot[rk[i]]加1
            for(i=1;i<=S;++i) tot[i]+=tot[i-1];//累加
            for(i=n;i;--i) SA[tot[rk[pos[i]]]--]=pos[i];//倒序枚举，更新SA数组
        }
    public:
        inline void Solve(char *s)
        {
            register int i,k,cnt=0,Size=122;//初始化字符集大小为122（即'z'的ASCII码）
            for(n=strlen(s),i=1;i<=n;++i) rk[pos[i]=i]=s[i-1];//初始化rk数组和pos数组
            for(RadixSort(Size),k=1;cnt<n;Size=cnt,k<<=1)//先是一遍基数排序，然后倍增枚举k，直至所有后缀各不相同
            {
                for(cnt=0,i=1;i<=k;++i) pos[++cnt]=n-k+i;//将长度小于等于k的后缀先加入数组中，此时的cnt相当于计数器
                for(i=1;i<=n;++i) SA[i]>k&&(pos[++cnt]=SA[i]-k);//对于排名大于k的字符串，将其加入数组中
                for(RadixSort(Size),i=1;i<=n;++i) pos[i]=rk[i];//基数排序一遍，然后将rk数组的值全部赋值给pos数组
                for(rk[SA[1]]=cnt=1,i=2;i<=n;++i) rk[SA[i]]=(pos[SA[i-1]]^pos[SA[i]]||pos[SA[i-1]+k]^pos[SA[i]+k])?++cnt:cnt;//利用SA数组来得到rk，此时的cnt存储不同的字符串个数，从而得到排名
            }
            for(i=1;i<=n;++i) F.write(SA[i]),F.writec(' ');//输出答案
        }
}S;