线段树合并

前言

线段树合并虽说是比较基础的内容，且我一直都知道大概的实现方式，但直到最近我才正式去写过一次，我真的太弱了啊。

下面从暴力合并开始，依次介绍几种线段树合并的方式。

合并\(1\)：暴力合并

直接暴力抠出线段树中的元素，然后暴力合并。

总合并时间复杂度应为\(O(n^2logn)\)。

合并\(2\)：启发式合并

应该算是暴力合并的一种优化。

即，每次合并时选取较小的一棵线段树，抠出其中元素插入另一棵线段树中。

这也是如平衡树等一些数据结构的常用合并方式。

总合并时间复杂度应为\(O(nlog^2n)\)。

合并\(3\)

这才是此文主要要介绍的线段树合并。

考虑到线段树的一个基本性质，即对于下标范围相同的两棵线段树，它们的形态是完全一样的。

则，我们分别从根节点开始遍历两棵线段树，对于当前位置分情况讨论：

1. 如果当前位置两棵树上都为空，直接返回。
2. 如果当前位置是叶节点，直接合并信息。
3. 如果当前位置只有一棵树上有节点，另一棵树上为空，则令当前位置为前一棵树上此位置的节点，然后返回（注意，这里不再处理子树，复杂度因此得以保证）。
4. 如果当前位置两棵树上都有节点，则在此位置动态开点新建一个节点，分别合并左儿子和右儿子，然后再从子节点上传并更新信息。

这一过程应该算是很简单的吧，而其总合并时间复杂度为\(O(nlogn)\)，十分优秀。

例题

下面给出一道板子题：【BZOJ5457】城市。