【洛谷5408】第一类斯特林数·行

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• 给定\(n\)，对于所有\(i=0\sim n\)，求出\(S_1(n,i)\)。
• \(n<262144\)

从递推公式到多项式

关于第一类斯特林数的基础性质可见：斯特林数的基础性质与斯特林反演的初步入门。

我们知道它的递推公式：

\[S_1(n,m)=S_1(n-1,m-1)+(n-1)\times S_1(n-1,m) \]

考虑这个递推公式的多项式意义，把第二维看成次数，那么一种转移是次数不变系数为\(1\)，一种转移是系数加\(1\)系数为\(n-1\)。

构造第\(n\)行斯特林数的生成函数\(F_n(x)=\sum_{i=0}^nS_1(n,i)x^i\)，于是发现\(F_n(x)\)相当于在\(F_{n-1}(x)\)的基础上卷上了\(x+n-1\)这个二项式。

得出结论：

\[F_n(x)=\prod_{i=0}^{n-1}(x+i) \]

显然这东西可以直接\(O(nlog^2n)\)的分治\(NTT\)，但是不够优秀，会被卡。

倍增求第一类斯特林数·行

我们发现：

\[F_{2n}(x)=F_n(x)*F_n(x+n) \]

要求\(F_n(x+n)\)，设\(F_n(x)=\sum_{i=0}^nf_ix^i\)，这实际上是一个和斯特林数无关的经典多项式问题：

\[\begin{align} F_n(x+n)&=\sum_{i=0}^{n}f_i(x+n)^i\\ &=\sum_{i=0}^{n}f_i\sum_{j=0}^{n}C_i^jx^jn^{i-j}\\ &=\sum_{i=0}^{n}f_ii!\sum_{j=0}^{n}\frac{x^j}{j!}\frac{n^{i-j}}{(i-j)!}\\ &=\sum_{i=0}^{n}\frac{\sum_{j=0}^{n}f_jj!\frac{n^{j-i}}{(j-i)!}}{i!}x^i \end{align} \]

于是构造两个生成函数\(A(x),B(x)\)卷积一下：

\[A(x)=\sum_{i=0}^nf_ii!x^i\\ B(x)=\sum_{i=0}^n\frac{n^i}{i!}x^{n-i}\\ [x^i]F_n(x+n)=\frac{[x^{i+n}](A*B)}{i!} \]

然后把\(F_n(x)\)和求出的\(F_n(x+n)\)卷起来即可得到\(F_{2n}(x)\)。

复杂度分析：\(T(n)=T(n/2)+O(nlogn)=O(nlogn)\)。

代码：\(O(nlogn)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 262144
#define X 167772161
using namespace std;
int n,f[N+5],a[N+5],b[N+5];
I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
int Fac[N+5],IFac[N+5];I void InitFac()
{
	RI i;for(Fac[0]=i=1;i<=n;++i) Fac[i]=1LL*Fac[i-1]*i%X;
	for(IFac[i=n]=QP(Fac[n],X-2);i;--i) IFac[i-1]=1LL*IFac[i]*i%X;
}
namespace Poly
{
	#define PR 3
	int P,L,R[N<<2],A[N<<2],B[N<<2];I void NTT(int* s,CI op)
	{
		RI i,j,k,x,y,U,S;for(i=0;i^P;++i) i<R[i]&&(swap(s[i],s[R[i]]),0);
		for(i=1;i^P;i<<=1) for(U=QP(QP(PR,op),(X-1)/(i<<1)),j=0;j^P;j+=i<<1) for(S=1,
			k=0;k^i;++k,S=1LL*S*U%X) s[j+k]=((x=s[j+k])+(y=1LL*S*s[i+j+k]%X))%X,s[i+j+k]=(x-y+X)%X;
	}
	I void Mul(CI n,int* a,int* b)//卷积
	{
		RI i;P=1,L=0;W(P<=(n<<1)) P<<=1,++L;for(i=0;i^P;++i) R[i]=R[i>>1]>>1|((i&1)<<L-1),A[i]=B[i]=0;
		for(i=0;i<=n;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];for(NTT(A,1),NTT(B,1),i=0;i^P;++i) A[i]=1LL*A[i]*B[i]%X;
		RI t=QP(P,X-2);for(NTT(A,X-2),i=0;i<=(n<<1);++i) a[i]=1LL*A[i]*t%X;
	}
}
I void Solve(CI n)//倍增
{
	if(n==1) return (void)(f[1]=1);//如果n=1
	if(n&1) {Solve(n-(n&1));for(RI i=n;~i;--i) f[i]=(1LL*(n-1)*f[i]+(i?f[i-1]:0))%X;return;}//如果n为奇数，暴力卷上x+n-1
	Solve(n>>1);for(RI i=0,p=1;i<=(n>>1);++i,p=1LL*p*(n>>1)%X) a[i]=1LL*f[i]*Fac[i]%X,b[(n>>1)-i]=1LL*p*IFac[i]%X;//构造A(x),B(x)以求F(x+n/2)
	Poly::Mul(n>>1,a,b);for(RI i=0;i<=(n>>1);++i) b[i]=1LL*a[i+(n>>1)]*IFac[i]%X;Poly::Mul(n>>1,f,b);//F(x)*F(x+n/2)
}
int main()
{
	RI i;for(scanf("%d",&n),InitFac(),Solve(n),i=0;i<=n;++i) printf("%d ",f[i]);return 0;
}