重新入门的Polya定理

前言

之前根据别人的博客学习\(Polya\)定理，不知道为什么总是一脸懵逼。

今天在法老建议下，去翻了翻集训队论文《Pólya原理及其应用》，一点一点看下来突然就懂了？

群

最基础的定义。

对于一个集合\(G\)以及一个给定的二元运算\(*\)，满足以下条件：

• 封闭性： 对于\(G\)中所有\(a,b\)，\(a*b\)都在集合中。
• 结合律： 对于\(G\)中所有\(a,b,c\)，满足\((a*b)*c=a*(b*c)\)。
• 单位元： 在\(G\)中存在一个\(e\)，满足对于\(G\)中所有的\(a\)，都有\(a*e=e*a=a\)。
• 逆元： 对于\(G\)中所有的\(a\)，都存在一个同在\(G\)中的\(b\)，满足\(a*b=e\)。

于是就称集合\(G\)在运算\(*\)之下是一个群。

一个简单的公式

\[|E_k|\times |Z_k|=|G| \]

此处\(G\)是一个\(1\sim n\)的置换群（置换群的定义比较简单，相信大家都会），而\(k\)是\(1\sim n\)的某个元素。

• \(Z_k\)（\(k\)不动置换类）： \(G\)中使\(k\)保持不变的所有置换记作\(Z_k\)，简称\(k\)不动置换类。
• \(E_k\)（等价类）：\(k\)在\(G\)的作用下能够变化得到的所有元素记作\(E_k\)。

根据定义，其实很容易就能证明上面公式的正确性。

\(Burnside\)引理

首先介绍一个新的定义：

• \(D(a_j)\)：在置换\(a_j\)下不变的元素个数。

由于\(|Z_k|\)表示的是使\(k\)不变的置换个数，\(D(a_j)\)表示的是置换\(a_j\)下不变的元素个数，二者显然有一个等量关系：

\[\sum_{k=1}^n|Z_k|=\sum_{j=1}^sD(a_j) \]

然后，我们假设共有\(N=\{1,2,...,n\}\)中共有\(L\)个等价类（注意，\(L\)就是一般情况下我们要求的东西），即设：

\[N=E_1+E_2+...+E_L \]

我们重新考虑\(\sum_{k=1}^n|Z_k|\)，就可以发现：

\[\sum_{k=1}^n|Z_k|=\sum_{i=1}^L\sum_{k\in E_i}|Z_k|=\sum_{i=1}^L|E_i|\times|Z_i| \]

根据最早的那个公式，\(|E_k|\times |Z_k|=|G|\)，得到：

\[\sum_{k=1}^n|Z_k|=L\times |G| \]

单独保留\(L\)，得到：

\[L=\frac1{|G|}\sum_{k=1}^n|Z_k|=\frac1{|G|}\sum_{j=1}^sD(a_j) \]

\(Polya\)定理

考虑到在\(Burnside\)引理中，\(D(a_j)\)依旧不好算。

我们定义一个置换\(g_i\)的循环个数为\(c(g_i)\)。

容易发现，对于\(g_i\)同一循环节中的元素涂上相同颜色所得方案数\(m^{c(g_i)}\)，就等于\(a_i\)作用下不变的图象数。

也就是说：

\[L=\frac1{|G|}\sum_{i=1}^sm^{c(g_i)} \]

这就是\(Polya\)定理的公式了。

模板题

可以看看这篇失败的博客：入门失败的Polya定理。