【洛谷4725】【模板】多项式对数函数（多项式 ln）

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大致题意： 给定多项式\(F(x)\)，求\(G(x)\)满足\(G(x)\equiv \ln\ F(x)(mod\ x^n)\)，向\(998244353\)取模。

推式子

首先我们对两边分别求导，得到：

\[G'(x)=\ln(F(x))' \]

复合函数求导公式为\(f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)\)，且众所周知\(\ln'(x)=\frac 1x\)，因此就有：

\[G'(x)=\frac 1{F(x)}*F'(x) \]

其中，对于\(F'(x)\)，可以根据\((x^a)'=ax^{a-1}\)这一基本公式简单转化得到。

然后，我们用多项式乘法逆求出\(\frac1{F(x)}\)，再用\(NTT\)将\(\frac 1{F(x)}\)和\(F'(x)\)卷起来就可以得到\(G'(x)\)了。

接下来我们需要把\(G'(x)\)变回\(G(x)\)。

那么只需要执行求导操作的逆运算——积分，根据\(\int x^adx=\frac1{a+1}x^{a+1}\)这一基本公式即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 100000
#define X 998244353
using namespace std;
int n,a[N+5],b[N+5];
I int QP(RI x,RI y) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}
namespace Poly
{
	#define Init(n) P=1,L=0;W(P<=2*(n)) P<<=1,++L;\
		for(i=0;i^P;++i) A[i]=B[i]=0,R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<L-1);//多项式卷积初始化
	int PR=3,IPR=QP(3,X-2),P,L,R[4*N+5],A[4*N+5],B[4*N+5],p[4*N+5];
	I void NTT(int *s,CI t)//NTT
	{
		RI i,j,k,x,y,U,S;for(i=0;i^P;++i) i<R[i]&&(x=s[i],s[i]=s[R[i]],s[R[i]]=x);
		for(i=1;i^P;i<<=1) for(U=QP(t,(X-1)/(i<<1)),j=0;j^P;j+=i<<1) for(S=1,k=0;k^i;
			S=1LL*S*U%X,++k) s[j+k]=((x=s[j+k])+(y=1LL*S*s[i+j+k]%X))%X,s[i+j+k]=(x-y+X)%X;
	}
	I void Inv(CI n,int *a,int *b)//多项式乘法逆
	{
		if(!n) return (void)(b[0]=1);RI i;Inv(n>>1,a,b);
		Init(n);for(i=0;i<=n;++i) A[i]=a[i],B[i]=b[i];
		for(NTT(A,PR),NTT(B,PR),i=0;i^P;++i) B[i]=(2LL*B[i]-1LL*A[i]*B[i]%X*B[i]%X+X)%X;
		RI t=QP(P,X-2);for(NTT(B,IPR),i=0;i<=n;++i) b[i]=1LL*B[i]*t%X;
	}
	I void Ln(CI n,int *a,int *b)//多项式ln
	{
		RI i;for(i=n-1;~i;--i) p[i]=1LL*a[i+1]*(i+1)%X;Inv(n,a,b);//b存储a',p存储1/a
		Init(n-1);for(i=0;i<=n-1;++i) A[i]=p[i],B[i]=b[i];
		for(NTT(A,PR),NTT(B,PR),i=0;i^P;++i) A[i]=1LL*A[i]*B[i]%X;
		RI t=QP(P,X-2);for(NTT(A,IPR),i=n-1;~i;--i) b[i+1]=1LL*A[i]*t%X*QP(i+1,X-2)%X;b[0]=0;//求出∫(b*p)即为答案
	}
}
int main()
{
	RI i;for(scanf("%d",&n),--n,i=0;i<=n;++i) scanf("%d",a+i);//读入
	for(Poly::Ln(n,a,b),i=0;i<=n;++i) printf("%d%c",b[i]," \n"[i==n]);return 0;//输出
}