概率生成函数初探

前言

一个挺早就知晓其存在的诡异科技，只不过当时遇到它的题目是用其他的做法搞过去的。

这次好好研读了一下杨懋龙神仙的论文《浅谈生成函数在掷骰子问题上的应用》，还是有不少收获的。（尽管看了一半就看不下去了）

基本定义

假设存在一个离散随机变量\(X\)满足\(P(X=i)=a_i\)，那么它的概率生成函数就应该是：

\[F(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}P(X=i)x^i \]

定义看起来很简单，更重要的是它的几个性质。

重要性质

性质一

\(X\)作为一个离散随机变量，显然它生成所有数的概率总和应当是\(1\)，也就是说：

\[F(1)=\sum_{i=0}^{+\infty}P(X=i)=1 \]

性质二

我们对于\(F(x)\)求导，得到：

\[F'(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}iP(X=i)x^{i-1} \]

然后再代入\(x=1\)，得到：

\[F'(1)=\sum_{i=0}^{+\infty}iP(X=i) \]

发现这玩意恰好是\(X\)的期望值！

也就是说：

\[E(X)=F'(1) \]

性质三

我们继续对这个式子求导，可以发现：

\[E(X^{\underline{k}})=F^{(k)}(1) \]

性质四

对于方差有这样一个公式：

\[Var(X)=E((X-E(X)))^2)=E(X^2-2XE(X)+E(X)^2)=E(X^2)-E(X)^2 \]

考虑\(E(X^2)\)，它可以这样表示：

\[E(X^2)=E(X(X-1))+E(X)=E(X^{\underline{2}})+E(X)=F''(1)+F'(1) \]

所以把这个式子代回原式，得到：

\[Var(x)=F''(1)+F'(1)-(F'(1))^2 \]

例题

讲完这些性质概率生成函数也就告一段落了，接下来就是例题。

这里就先列出一道吧：【洛谷4548】[CTSC2006] 歌唱王国（概率生成函数）。