初学莫比乌斯反演

前言

莫比乌斯反演应该是比较难的一类数论题了。（因此它又被称为懵逼钨丝反演）

关于它的许多性质，我也不怎么会证明（毕竟我数学差得要命）。

学习这个算法时，在别人的博客中看到一句十分经典的话，在此特将其摘录如下：

\(Excerpt\)

那些各种各样的性质与定理，大多是前人几年甚至几十年才得出来的，哪里是你几天就能理解并证明的。

莫比乌斯函数\(\mu\)

莫比乌斯反演中最重要的自然就是 莫比乌斯函数\(\mu\) 了。

定义

对于一个正整数\(d\)，\(\mu(d)\)的定义如下：

\[\mu(d)=\begin{cases}1&d=1\\(-1)^k&d=\prod_{i=1}^kp_i且p_i为互不相同的质数\\0&d含有某个指数\ge2的质因子\end{cases} \]

性质

其实，莫比乌斯函数是一个非常有趣的函数，它有许多我不会证明的很有趣的性质。

• 比如，\(\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases}1&n=1\\0&n>1\end{cases}\)，就是一个很常用的性质。
• 再比如，对于任意正整数\(n\)，\(\sum_{d|n}\frac {\mu(d)}d=\frac{\phi(n)}n\)，这个性质就十分复杂了，把欧拉函数也扯了进来（毕竟这不是本博客的重点内容）。

求莫比乌斯函数

我们可以通过线性筛来求莫比乌斯函数，代码如下：

class Class_Mobius//莫比乌斯反演
{
    private:
        int Prime_cnt,mu[N+5],Prime[N+5];bool IsNotPrime[N+5];
    public:
        LL sum[N+5];
        Class_Mobius()//预处理
        {
            register int i,j;
            for(mu[1]=1,i=2;i<=N;++i)//求出莫比乌斯函数，首先预处理mu[1]=1
            {
                if(!IsNotPrime[i]) Prime[++Prime_cnt]=i,mu[i]=-1;//如果当前数是质数，则说明它由一个质因子组成，因此mu[i]=(-1)^1=-1
                for(j=1;j<=Prime_cnt&&i*Prime[j]<=N;++j)//筛质数，求mu 
                    if(IsNotPrime[i*Prime[j]]=true,i%Prime[j]) mu[i*Prime[j]]=-mu[i];else break;//因为i*Prime[j]比i多一个质因子，所以mu[i*Prime[j]]=-mu[i]
            }
        }
}Mobius;

莫比乌斯反演定理

内容

对于定义于非负整数集合上的两个函数\(F(n)\)和\(f(n)\)，若它们满足\(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\)，则可得\(f(d)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac nd)\)。

证明

我们可以通过定义来对其进行证明（由于我不会，请自行脑补这一过程）。

其实还有一个较为简单的证明方法，可以参考这篇博客：初学狄利克雷卷积。

其他

实际上，莫比乌斯反演还有一种更常见的形式：
对于定义于非负整数集合上的两个函数\(F(n)\)和\(f(n)\)，若它们满足\(F(n)=\sum_{n|d}f(d)\)（注意，请仔细看这个式子，它与上面那个式子长得不一样），则可得\(f(d)=\sum_{n|d}\mu(\frac dn)F(d)\)，其实也是同理的。

例题

推荐几道莫比乌斯反演的例题吧：

例题1： 【洛谷2257】YY的GCD

例题2： 【BZOJ3994】[SDOI2015] 约数个数和